Как решать нерешаемое?

[Утундрий]

Строго говоря ни $a$ ни $b$ не должны равняться нулю... Но я не стал добавлять это требование в условие из-за наличия описанного колеблющегося псевдорешения. Иначе, боюсь, решений не будет вовсе. Если же $b$ хотя бы в средне квадратичном не нуль и растёт не быстрее $a$, то это меня устраивает.

[amon]

Утундрий в сообщении #1414986 писал(а):

Если же $b$ хотя бы в средне квадратичном не нуль и растёт не быстрее $a$, то это меня устраивает.

Тогда можно попробовать поискать под таким фонарем. Будем искать решение, слабо отличающееся от написанного. Для него в первом приближении

$$\ddot{b}+\frac{t^6}{3^3}b=0$$

что есть некий Бессель. Выбрать убывающий, и вроде все хорошо - получим решение (приближенное), стремящееся на бесконечности куда надо. Или еще какие вводные появятся?

[maximav]

Утундрий в сообщении #1413640 писал(а):

Из некоторых соображений вытекло уравнение:

Утундрий в сообщении #1413640 писал(а):

Можно ли это уравнение некоторым образом проквантовать?

Утундрий в сообщении #1413666 писал(а):

Если не секрет, как отыскали?

Это же 1-солитон: $2\,\mathrm{sech}^2x$. Там все решается в элементарных функциях и точно, насколько возможно. Спектр - одна точка. Знаки уточните. Лэмб, Абловиц, книжки по МОЗР.

[Brukvalub]

maximav в сообщении #1415024 писал(а):

Спектр - одна точка.

Вы упомянули спектр. Спектр какого объекта, и почему он состоит из одной точки? Я этого не понимаю и прошу разъяснить.

[maximav]

$2\mathrm{sech}^2$ - это стандартный 1-солитонный потенциал в методе обратной задачи рассеяния. Он решается точно. Если его перевернуть и "сделать квантовой" ямой, то как спектральная задача он имеет одно СЗ: число солитонов. Подробности этого в книжке: Лэм, Дж. Л. Введение в теорию солитонов, а также - не уверен за память - в книжке Абловиц-Сигур. Солитоны и МОЗР. Есть еще где в куче книжек по теории солитонов; тоже ничего не помню.

[Brukvalub]

maximav в сообщении #1415062 писал(а):

$2\mathrm{sech}^2$ - это стандартный 1-солитонный потенциал в методе обратной задачи рассеяния. Он решается точно. Если его перевернуть и "сделать квантовой" ямой, то как спектральная задача он имеет одно СЗ: число солитонов.

Какое отношение данный факт имеет к обсуждаемой в теме задаче?

[Утундрий]

Знаю, вы будете ругаться, но...

Утундрий в сообщении #1414749 писал(а):

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c}{\ddot a - a^5 b^2 &=& 0} \\ {\ddot b + a^6 b &=& 0} \\ {3\dot a^2 - \dot b^2 - a^6 b^2 &=& 1} \\ \end{array} } \right. \eqno(1)$$

Следует читать

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c}{\ddot a - a^5 b^2 &=& 0} \\ {\ddot b + a^6 b &=& 0} \\ {1+3\dot a^2 &=& \dot b^2 + a^6 b^2 } \\ \end{array} } \right. \eqno(1)$$

Это только я сел проверить идею amon, как вотъ.

[Утундрий]

Ещё немного покрутил. Численно нужные решения находятся во множестве, даже с нигде ненулевым $a$.

[Утундрий]

$$\[ \left( {1 + \frac{1} {{r^4 }}} \right)u''\left( r \right) + \frac{2} {r}u'\left( r \right) + \left[ {\omega ^2 - \frac{{n(n + 1)}} {{r^2 }}} \right]u\left( r \right) = 0\] $$

$$\[ \left( {1 + \frac{1} {{r^4 }}} \right)u''\left( r \right) + \frac{2} {r}u'\left( r \right) + \left[ {\omega ^2 - \frac{{n(n + 1)}} {{r^2 }} - \frac{6} {{r^6 }}} \right]u\left( r \right) = 0, \qquad n \in \mathbb{Z} \]$$

Что с этим можно сделать?

[amon]

Утундрий в сообщении #1435941 писал(а):

Что с этим можно сделать?

Из простого - посчитать что-нибудь при достаточно больших $r,$ когда $\frac{1}{r}\ll\omega^2,$ по теории возмущений, считая невозмущенным осцилляторный потенциал. Можно попробовать оставить члены вплоть до $\frac{1}{r^2}$ - вроде тоже решается, и область применимости чуть шире.

[Утундрий]

Да, граничные условия... Интересуют ограниченные решения и, наверное, нулевые в нуле (в последнем пока не уверен).

[g______d]

Да, действительно, в Lamb, "Elements of soliton theory" в разделе 2.5 есть разговоры про это уравнение, в основном тоже с помощью гипергеометрических функций.