2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Как решать нерешаемое?
Сообщение04.09.2019, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9233
Из некоторых соображений вытекло уравнение:
$$\frac{{d^2 x}}{{dt^2 }} + \left( {\omega ^2  + \frac{2}{{\operatorname{ch} ^2 t}}} \right)x = 0$$где $\omega $-ненулевая константа (ибо при $\omega =0$ решение $x = 1 - t\operatorname{th} t$ неограниченно, что противоречит вышеупомянутым соображением из которых данное уравнение вытекло).

Поискав решение в навеянном физическим смыслом виде
$$x = a(t)\sin \left( {\int\limits_0^t {\sqrt {\omega ^2  + \frac{2}{{\operatorname{ch} ^2 s}}} } ds + \delta (t)} \right)$$находим полезное соотношение
$$a \propto \left( {\sqrt {\omega ^2  + \frac{2}{{\operatorname{ch} ^2 t}}}  + \dot \delta } \right)^{ - 1/2} $$и страшновато выглядящее уравнение на фазу $\delta (t)$.

Вопросы:
  1. Можно ли что-то сказать о фазе, не прибегая к тупому насчитыванию?
  2. Можно ли это уравнение некоторым образом проквантовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать нерешаемое?
Сообщение04.09.2019, 21:36 


11/07/16
669
Почему же нерешаемое? Мэйпл находит его общее решение в терминах гипергеометрической функции, Математика - через функции Лежандра первого и второго родов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать нерешаемое?
Сообщение04.09.2019, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9233
Ну да, формально оно $P_1^{i\omega } \left( {\operatorname{th} t} \right)$, но я не очень-то понимаю дифференцирование мнимое число раз (и даже не целое мнимое). Хотелось бы чего-то более осязаемого, пусть и только асимптотического.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать нерешаемое?
Сообщение04.09.2019, 22:16 


11/07/16
669
В описании функции Лежандра первого (и второго) рода $P_1^{i \omega }(\tanh (t))$ в Математике верхний индекс не связан ни с каким дифференцированием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать нерешаемое?
Сообщение04.09.2019, 22:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9233
Markiyan Hirnyk в сообщении #1413651 писал(а):
В описании функции Лежандра первого (и второго) рода верхний индекс не связан ни с каким дифференцированием
$P_n^m (x) = ( - 1)^m (1 - x^2 )^{m/2} ({{d^m } \mathord{\left/ {\vphantom {{d^m } {dx^m }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {dx^m }})P_n (x)$.

Давайте сэкономим время. Вы, наверное, хотите сказать, что где-то там в облаках витает гипергеометрическая функция и все через нее выражается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать нерешаемое?
Сообщение04.09.2019, 22:31 


11/07/16
669
Вы неверно процитировали мое утверждение. Оно такое
Цитата:
В описании функции Лежандра первого (и второго) рода $P_1^{i \omega }(\tanh (t))$ в Математике верхний индекс не связан ни с каким дифференцированием.
Полагаю, что приведенная Вами формула имеет место только для неотрицательных целых значений $m$.
PS. В Математике функции Лежандра первого и второго родов определяются через гипергеометрические функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать нерешаемое?
Сообщение04.09.2019, 22:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9233
Утундрий в сообщении #1413656 писал(а):
Вы, наверное, хотите сказать, что где-то там в облаках витает гипергеометрическая функция и все через нее выражается?

Markiyan Hirnyk в сообщении #1413658 писал(а):
В Математике функции Лежандра первого и второго родов определяются через гипергеометрические функции
.

Будем считать, что это было "да".

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать нерешаемое?
Сообщение04.09.2019, 23:15 
Заслуженный участник


25/02/08
2956
Утундрий
На самом деле одно из независимых решений есть $$f(t) = {e^{i\omega t}}{{{\mathop{\rm th}\nolimits} (t) - i\omega } \over {\Gamma (2 - i\omega )}}$$
Это и есть то самое $P_1^{i\omega }({\mathop{\rm th}\nolimits} (t))$. Отсюда уже можно и второе независимое $Q_1^{i\omega }({\mathop{\rm th}\nolimits} (t))$ найти, причём всё в относительно осязаемом виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать нерешаемое?
Сообщение04.09.2019, 23:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9233
Ms-dos4
Действительно, $e^{i\omega t} \left( {\operatorname{th} t - i\omega } \right)$ - решение. Как-то слишком даже простенько выглядящее. Если не секрет, как отыскали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать нерешаемое?
Сообщение04.09.2019, 23:47 
Заслуженный участник


25/02/08
2956
Утундрий
Второе линейно независимое решение, для справки, $g(t) = {e^{ - i\omega t}}({\mathop{\rm th}\nolimits} (t) + i\omega )$ (правда это не совсем $Q_1^{i\omega }({\mathop{\rm th}\nolimits} (t))$, да и не важно).
Как отыскал? Заменой привел уравнение к гипергеометрическому, затем упростил гипергеометрическую функцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать нерешаемое?
Сообщение04.09.2019, 23:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9233
Ms-dos4 в сообщении #1413667 писал(а):
Второе линейно независимое решение...
Можно просто взять $Re$ и $Im$.
Ms-dos4 в сообщении #1413667 писал(а):
Заменой привел уравнение к гипергеометрическому, затем упростил гипергеометрическую функцию.
Ну, в этом я не силён.

Правда, это была разминка. Приятно, конечно, что получилась такая компактная запись, но в реальной задаче в "частоте" будет сидеть решение нелинейного диффура. Однако, понимания прибавилось. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать нерешаемое?
Сообщение05.09.2019, 00:07 
Заслуженный участник


25/02/08
2956
Утундрий
Да, вы конечно правы по поводу ${\mathop{\rm Re}\nolimits} $ и ${\mathop{\rm Im}\nolimits} $, я уже сплю.
Ну насчёт "реальной" задачи тоже можно подумать, что можно вытащить из асимптотических методов... А что-нибудь о поведении $\omega (t)$ известно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать нерешаемое?
Сообщение12.09.2019, 20:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9233
Вот один из примеров, который так и не удалось свести к чему-то человеческому. Есть система
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c}{\ddot a - a^5 b^2  &=& 0}  \\   {\ddot b + a^6 b &=& 0}  \\   {3\dot a^2  - \dot b^2  - a^6 b^2  &=& 1}  \\ \end{array} } \right. \eqno(1)$$В первую очередь интересует поведение решения при $a \to + \infty $ и будет физически удовлетворительно, если $b$ хотя бы не растет. Заменой $b = \beta \sin \varphi $ приходим к
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\beta ^2 \dot \varphi  &=& \gamma  \equiv const}  \\   {\ddot \beta  + \left( {\beta a^6  - \frac{{\gamma ^2 }}{{\beta ^3 }}} \right) &=& 0}  \\ \end{array} } \right.$$Теперь возьмем (вот сейчас очень необоснованно будет...)
$$\beta  = \beta _* : = \sqrt \gamma  a^{ - 3/2} $$подставим это в $(1)$ и усредним по интервалу времени, большому для $b$, но малому для $a$. Получится
$$\left\langle {b^2 } \right\rangle  = \frac{\gamma }{2}a^{ - 3} ,\quad \left\langle {\dot b^2 } \right\rangle  = \frac{\gamma }{2}a^3  + ...$$(многоточие означает члены, не пережившие переход к пределу $a \to  + \infty $) и наконец
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {2 \ddot a &=& \gamma a^2 }  \\   {3 \dot a^2  &=& \gamma a^2 }  \\ \end{array} } \right.$$Откуда находим
$$a \sim (t_*  - t)^{ - 2} ,\quad \left\langle {b^2 } \right\rangle  \sim (t_*  - t)^6 ,\quad t \to t_*  - 0$$Что вполне физически хорошо.

Вот эти-то $a$ и $b$ войдут в частоту (возможно и в трение, смотреть нужно) неких линейных уравнений второго порядка. Конечно, желательно получить их в замкнутом виде, но верится в это слабо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать нерешаемое?
Сообщение13.09.2019, 18:02 
Заслуженный участник


25/02/08
2956
Утундрий
Можно попробовать пойти следующим путем: умножив первое уравнение на $a(t)$, второе на $b(t)$ получим
$$\[\left\{ \begin{array}{l}
\ddot a(t)a(t) - {a^6}(t){b^2}(t) = 0\\
\ddot b(t)b(t) - {a^6}(t){b^2}(t) = 0\\
3{{\dot a}^2}(t) - {{\dot b}^2}(t) - {a^6}(t){b^2}(t) = 1
\end{array} \right.\]$$
Если бы в последнем уравнении была бы не тройка, а пятерка, всё было бы намного легче (подошло бы $a(t) = b(t)$). Ну а так вычтем из второго уравнения третье
$$\ddot b(t)b(t) + {{\dot b}^2}(t) - 3{{\dot a}^2}(t) =  - 1$$
В этом уравнении понижается порядок, откуда
$$b(t) =  \pm \sqrt 2 \sqrt {B + At - {{{t^2}} \over 2} + 3\int\limits_{{t_0}}^t {(t - \tau ){{\dot a}^2}(\tau )d\tau } } $$
Далее с этим уже можно возится, используя $\ddot a(t)a(t) = \ddot b(t)b(t) = {a^6}(t){b^2}(t)$. Например, одно из точных решений есть
$$\[\left\{ \begin{array}{l}
a(t) =  \pm \frac{t}{{\sqrt 3 }} + C\\
b(t) = 0
\end{array} \right.\]$$
Ещё одно
$$\[\left\{ \begin{array}{l}
a = 0\\
b = i\left| {{t_0} - t} \right|
\end{array} \right.\]$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать нерешаемое?
Сообщение13.09.2019, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4083
ФТИ им. Иоффе СПб
Утундрий в сообщении #1414749 писал(а):
В первую очередь интересует поведение решения при $a \to + \infty $ и будет физически удовлетворительно, если $b$ хотя бы не растет.
$$\begin{align}a&=\frac{t}{\sqrt{3}}\\b&=0\end{align}$$ чем не устроило?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group