Не решается предел с кубическим корнем

[Judy Ju]

Предел не выглядит трудным, но что-то возник сильный затык на нем.

Найти

$$\lim_{x\to \infty} \sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2} - x$$

Решаю: $\infty - \infty =$ (неопределенность, домножим на сопряженное по формуле $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, т.е. на $(a^2+ab+b^2)$.
Получаем

$$\lim_{x\to \infty} \frac{(x-1)(x-2)^2-x^3}{\sqrt[3]{(x-1)^2(x-2)^4}+x\cdot\sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2}+x^2}$$

И вот тут я уже не знаю что делать. Вроде получается снова неопределенность, только $\frac{\infty}{\infty}$. Делю на x в старшей степени, т.е. на $x^3$, и.. не понимаю. Как записать происходящее под куб. корнями в знаменателе? Внести туда $x^3$, т.е. получить $x^9$ и почленно поделить выражения с раскрытыми скобками под корнями? Или как-то иначе действовать?

Жду ваших ответов и помощи)

[mihaild]

Запишите корень как $x \cdot \sqrt[3]{1 + \frac{c}{x} + o(\frac{1}{x})}$ (найдя $c$) и разложите корень по степеням $\frac{1}{x}$.

[12d3]

Judy Ju в сообщении #1414885 писал(а):

Делю на x в старшей степени, т.е. на $x^3$, и.. не понимаю

Раскройте скобки в числителе, и вы увидите, что старшая степень вовсе не куб.

[Judy Ju]

12d3 в сообщении #1414887 писал(а):

Judy Ju в сообщении #1414885 писал(а):

Делю на x в старшей степени, т.е. на $x^3$, и.. не понимаю

Раскройте скобки в числителе, и вы увидите, что старшая степень вовсе не куб.

Правда, спасибо. Действительно, $x^2$.
Тогда другой вопрос: как мне решить дальше с $x^2$? Как поделить куб.корни на него? Кроме как способом, как написал участник форума выше
Могу я поделить на $x^2$ каждый корень и написать что получится единица, т.к под корнями самая старшая степень $x^2$? Или это ерунда?
И как тогда делать, если вдруг знаете

[thething]

Judy Ju в сообщении #1414908 писал(а):

Или это ерунда?

Не ерунда, так и делайте. Просто повыносите из-под корней старшую степень (фактически, просто вынесите икс за каждую скобку, а потом за знак корня).

[alcoholist]

Judy Ju в сообщении #1414885 писал(а):

Найти

$$\lim_{x\to \infty} \sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2} - x$$

а я бы сразу $x$ вынес и получил бы $\infty\cdot 0$:

$$\lim_{x\to \infty}x\left( \sqrt[3]{\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{2}{x}\right)^2} - 1\right)$$

и перешел бы к пределу $u=1/x\to 0$. Его и по Лопиталю можно, и как замечательный предел.

[Otta]

Первый курс, вторая неделя. Нет еще ни Лопиталя, ни Тейлора, ни даже замечательных пределов.
Не успели.

[Judy Ju]

Otta в сообщении #1414922 писал(а):

Первый курс, вторая неделя. Нет еще ни Лопиталя, ни Тейлора, ни даже замечательных пределов.
Не успели.

Оох). На самом деле уже второй даже, посолиднее. Просто почему-то никогда такого редкого зверя не встречала в заданиях

-- 14.09.2019, 01:10 --

Даже несколько вариантов решений, хах. Спасибо всем, разобралась теперь

[Otta]

А второй, кнешна, должон уже всеми перечисленными способами решать и еще свой какой-нибудь придумать. :)