Спектр симметризованной матрицы.

[Optimizator]

Если $A$ дважды стохастическая матрица, то ее симметризация $B=\frac12(A+A^T)$ тоже дважды стохастическая. Поэтому первое собственное число $\lambda_1(A)=\lambda_1(B)=1$ не меняется.
Верно ли, что $|\lambda_2(A)|\le |\lambda_2(B)|$, т.е. модуль второго собственного числа может только увеличиться? У меня в примерах пока везде так.

[ИСН]

Второе - это какое? Второе по Re или второе по модулю?

[DeBill]

Optimizator
Для матрицы три на три (на диагонали - нули, все остальные элементы равны половинке), ее "кососимметричное" возмущение в классе дважды стохастических дает: вещественные части не меняются, а модули "второго-третьего" с.значения увеличатся...Что не соответствует заявленному, да?

-- 27.08.2019, 22:08 --

(Вообще, при "типичном" возмущении кратного собственного значения - а в примере моем оно - кратное не быват одновременного УМЕНЬШЕНИЯ модулей обеих возмущенных таким надругательством с.зн.). Правда, оно - атипичное, нда.

[DeBill]

Ну, я посчитал дальше...
Пусть $B_0$ симметричная дважду стохастическая; они параметризуются тремя наддиагональными элементами
(пусть это $a,b,c$; из симметричности можно считать $0\leqslant a \leqslant b\leqslant c,$ и надо еще $b+c\leqslant 1$). Тогда любая дважды стохастическая представима в виде $B_{\varepsilon} =B_0 + \varepsilon J$, где

$$J=\begin{pmatrix} 0& 1 & -1 \\ -1 &0 &1 \\ 1& -1 & 0 \end{pmatrix}$$

и $\left\lvert\varepsilon\right\rvert\leqslant a$
Ее характеристический многочлен, как нетрудно убедиться , имеет вид:
$\det (B_{\varepsilon} -\lambda E)=(1-\lambda)(g(\lambda) +3\varepsilon^2)$,
причем корни квадратного многочлена $g$ - вещественны (они - с.значения симметричной матрицы $B_0$).
Отсюда делается понятным поведение корней (с.значений ) матриц: при увеличении (по модулю) параметра "антисимметричности $\varepsilon$", больший корень уменьшается, меньший - увеличивается (а сумма их - сохраняется),(и утверждение ТС пока что - верно). Потом они становятся комплексными (если до этого дело доходит - тут важны перечисленные выше ограничения - это я не смотрел аккуратно; смотрел только около случая $a=b=c \leqslant\frac{1}{2}$; тут корень - кратный, и "комплексность" начинается сразу; но если параметры чуток пошевелить - корни станут однократными, а "комплексность" будет иметь место, хотя и не сразу ). И вот тут модули начинают расти, и утверждение ТС ломается...
Вывод: видимо, в посте ТС следует сравнение модулей везде заменить на сравнение вещественных частей - и тогда утверждение (по крайней мере, в трехмерном случае) станет верным. Либо: потребовать вещественность всех собственных значений...

[Optimizator]

DeBill, спасибо большое за подробный ответ!
Все аккуратно переписал на листочек, поеду опять на дачу - разбираться...

[Optimizator]

DeBill в сообщении #1412377 писал(а):

Ее характеристический многочлен, как нетрудно убедиться , имеет вид:
$\det (B_{\varepsilon} -\lambda E)=(1-\lambda)(g(\lambda) +3\varepsilon^2)$,
причем корни квадратного многочлена $g$ - вещественны (они - с.значения симметричной матрицы $B_0$).

Нетрудно оказалось убедиться только при $\varepsilon=0$. А в общем случае что-то не соображу...

[Евгений Машеров]

Неформальное соображение.
Сумма собственных значений постоянна, равна следу матрицы. Но у несимметричной они, вообще говоря, комплексные. Причём парами сопряжённых. У симметричной все действительные. Похоже, что при симметризации получаются одно большее, другое меньшее.

[Optimizator]

DeBill в сообщении #1412377 писал(а):

Ее характеристический многочлен, как нетрудно убедиться , имеет вид:
$\det (B_{\varepsilon} -\lambda E)=(1-\lambda)(g(\lambda) +3\varepsilon^2)$,

Уважаемые форумчане!
Как все-таки это доказать?

[mihiv]

Optimizator в сообщении #1414472 писал(а):

Как все-таки это доказать?

Например, можно так: определитель-это полином второй степени по $\varepsilon $. Изменение знака $\varepsilon $ соответствует транспонированию матрицы, при этом определитель не меняется. Следовательно первая степень $\varepsilon $ в полиноме отсутствует, т.е. $\det =A(\lambda )\varepsilon ^2+\det (B_0-\lambda E)$. Дальше находим вторую производную определителя по $\varepsilon $ и находим $A(\lambda )$.

[Optimizator]

mihiv
Спасибо! Буду разбираться...