Правильные многогранники - что и где почитать?

[Munin]

TL: пока я нашёл только Wikipedia и Coxeter. Regular Polytopes, Regular Complex Polytopes.
Мне интересны: правильные многогранники в пространствах $\mathbb{H}^n,(\mathbb{Z}_p)^n\equiv(\mathbb{F}_p)^n,(\mathbb{F}_q)^n,$ их группы симметрии, и как они раскладываются, интерпретируются и соотносятся с группами типа Ли ($A,B,C,D;E,F,G,$...), в частности, диаграммы Коксетера и Коксетера-Дынкина.

----------------

Правильные многогранники
      Правильные многогранники известны всем: это пять многогранников в трёхмерном пространстве (Platonic solid), а именно, тетраэдр, куб (гексаэдр), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline &\textit{2-грань}&\textit{граней в вершине}&\mathrm{Schl\ddot{a}fli\,symbol}&\textit{вершин}&\textit{рёбер}&\textit{граней} \\ \hline \text{tetrahedron} & 3,\{3\} & 3 & \{3,3\} & 4 & 6 & 4 \\ \hline \text{cube (hexahedron)} & 4,\{4\} & 3 & \{4,3\} & 8 & 12 & 6 \\ \hline \text{octahedron} & 3,\{3\} & 4 & \{3,4\} & 6 & 12 & 8 \\ \hline \text{dodecahedron} & 5,\{5\} & 3 & \{5,3\} & 20 & 30 & 12 \\ \hline \text{icosahedron} & 3,\{3\} & 5 & \{3,5\} & 12 & 30 & 20 \\ \hline \end{array}$

      Двойственность: у каждого многогранника есть двойственный ему - такой, который получается заменой вершин на грани, а граней на вершины. Например, в центре тяжести каждой грани можно отметить точку, и сделать её вершиной нового многогранника, соединяя их соответственно через рёбра, и так далее. (В действительном случае, можно просто взять выпуклую оболочку получившихся точек, но дальше такая конструкция не обобщается.)
      Символ Шлёфли: это обозначение $\{p,q\}$ выражает ту мысль, что "в вершине сходятся $q$ штук $p$-угольных граней", или что порядок грани $p,$ а порядок вершины $q.$ Дальше символ Шлёфли будет определяться по индукции: для $(n-1)$-мерной грани записывается её символ Шлёфли, а в конце дописывается, сколько таких граней сходится  в одной вершине  в одном элементе коразмерности 3. Для двойственного многогранника получается тот же символ Шлёфли, что и для исходного многогранника, но записанный задом наперёд.
      Тетраэдр двойственен сам себе (самодвойственен), куб двойственен октаэдру, додекаэдр двойственен икосаэдру.
      Vertex figure (линк вершины или вершинная фигура): часто интересна не грань, а окрестность вершины. Наглядно vertex figure можно себе представить как форму среза, если отсечь малую окрестность вершины плоскостью. На языке абстрактных многогранников она определяется иначе: это все грани, инцидентные данной вершине (то есть, содержащие её). Abstract_polytope#Vertex_figures Но по сути, получается та же фигура. Символ Шлёфли для vertex figure можно найти, если вычеркнуть первую цифру в символе Шлёфли для всего многогранника.
      Группа симметрии: она переводит многогранник в себя, то есть является подгруппой движений (изометрий) пространства. Но в других пространствах может не быть изометрий. Поэтому группа симметрии многогранника - это та группа, которая переводит его флаги в его флаги. Флаг - это набор из вершины, инцидентного ей ребра, инцидентной им грани, и так далее, до полной размерности $n.$ И обратно, это позволяет определить правильный многогранник: это такой многогранник, группа симметрии которого действует на его флагах транзитивно, то есть в ней найдётся преобразование, переводящее любой заданный флаг в любой заданный. Группы симметрии двойственных многогранников совпадают, очевидно.

Группы симметрии правильных многогранников - это:

полная группа тетраэдра $T_d$ - Wiki, Wikiversity, порядка 24;
полная группа октаэдра $O_h$ (она же группа симметрий куба) - Wiki, Wikiversity, порядка 48;
полная группа икосаэдра $I_h$ (она же группа симметрий додекаэдра) - Wiki, порядка 120.

Если запретить отражения - несобственные движения - то получаются "просто" (= хиральные) группы тетраэдра $T$ порядка 12, октаэдра $O$ порядка 24, икосаэдра $I$ порядка 60. (Эти обозначения - символы Шёнфлиса (Schönflies), придуманы в 19 веке для кристаллографии, и здесь уже не вполне удобны и логичны, но традиционны. Также есть нотация Коксетера и диаграммы Коксетера.) Эти полные группы порождаются отражениями, и они, и их подгруппы, называются группами Коксетера (Wiki), в комплексном случае - Shephard group (Wiki).

Кроме того, есть другие интересные родственные группы:

пиритоэдральная группа $T_h$ порядка 24, $T<T_h,$ $T_h\ncong T_d,$ Wikiversity;
бинарные группы $2T,2O,2I$ порядков 24, 48, 120, которые являются двойными накрытиями соответствующих хиральных групп, однако не содержат их в качестве подгрупп. $2T$ Wiki, $2O$ Wiki, $2I$ Wiki.

Все эти группы, кроме бинарных, могут быть реализованы как действительные матрицы $3\times 3,$ а бинарные - как комплексные матрицы $2\times 2.$ Таким образом, всё это конечные подгруппы в $\mathrm{O}(3),\mathrm{SO}(3),\mathrm{SU}(2).$ Кроме того, они изоморфны:

$T_d\cong O\cong S_4,$     $T\cong A_4=\mathrm{PSL}(2,3),$     $T_h\cong T\times\mathbb{Z}_2,$     $2T\cong Q\rtimes\mathbb{Z}_3,$
$O_h\cong S_2^3\rtimes S_3=S_4\times\mathbb{Z}_2,$     $O\cong S_4,$     $2O\cong?,$
$I_h\cong A_5\times\mathbb{Z}_2,$     $I\cong A_5=\mathrm{PSL}(2,4)=\mathrm{PSL}(2,5),$     $2I\cong\mathrm{SL}(2,5),$

где $S_n$ и $A_n$ - симметрическая и знакопеременная группы (группы перестановок и чётных перестановок), $Q$ - группа кватернионов (Wiki). $\mathrm{SL}(n,q)$ Wiki, $\mathrm{PSL}(n,q)=\mathrm{SL}(n,q)/Z(\mathrm{SL}(n,q))$ Wiki.

----------------

В других размерностях
      В размерности 2 для любого $k$ существует правильный $k$-угольник, и он самодвойственный. (Традиционно полагается $k\geqslant 3,$ но с абстрактной точки зрения может быть удобно учитывать и $k=2,$ и даже $k=1.$) Итого, есть бесконечная серия. Символы Шлёфли $\{k\}.$ Группы симметрий этих многоугольников - (без отражений) $\mathbb{Z}_k$ и (с отражениями) $\mathrm{Dih}_k$ (Wiki), их двойные накрытия - $\mathbb{Z}_{2k}$ (?) и $\mathrm{Dic}_k$ (Wiki).

https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_polytope
(Для разных размерностей есть разные термины: полихоры, политопы и т. д. - я не буду ими пользоваться, пока могу.)

      В размерности 4 существует шесть различных многогранников:

из тетраэдров $\{3,3\}$ получается

5-ячейник (симплекс) $\{3,3,3\},$
16-ячейник (гипероктаэдр) $\{3,3,4\},$
600-ячейник $\{3,3,5\}$;
из кубов $\{4,3\}$ получается 8-ячейник (гиперкуб) $\{4,3,3\}$;
из октаэдров $\{3,4\}$ получается 24-ячейник $\{3,4,3\}$;
из додекаэдров $\{5,3\}$ получается 120-ячейник $\{5,3,3\}.$

Их двойственности: симплекс двойственен сам себе, гиперкуб - гипероктаэдру, 24-ячейник - сам себе, 120- и 600-ячейники - друг другу. Их группы симметрии: $A_4,$ $B_4=C_4,$ $F_4,$ $H_4$ (это уже обозначения Коксетера, Wiki).

      Во всех старших размерностях существует три правильных многогранника:

симплекс $\{3,\ldots,3\}$;
гипероктаэдр $\{3,\ldots,3,4\}$;
гиперкуб $\{4,3,\ldots,3\}.$

Симплекс двойственен сам себе, гиперкуб - гипероктаэдру. Их группы симметрии: $A_n,$ $B_n=C_n.$

----------------

В неплоских пространствах (сферическое, эллиптическое, гиперболическое = Лобачевского) возможны другие варианты, или невозможны какие-то из перечисленных.
Некоторые определения обобщаются на звёздчатые многогранники и на регулярные замощения пространства.
Во всё это я залезать не буду.

----------------

В комплексных пространствах $\mathbb{C}^n$
https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_polytope
      В случае комплексного пространства приходится несколько изменить определения. Комплексный многогранник нельзя рассматривать как непрерывную поверхность, как границу области. Вместо этого, каждую грань мы заменяем на плоскость (аффинное подпространство). В [^] написана какая-то чушь (например, там многогранник может не содержать ни одной вершины), так что лучше взять определение абстрактного многогранника Wiki, и добавить уже известное условие группы, действующей транзитивно на флагах.

      Мир комплексных правильных многогранников богаче. Уже 1-мерные многогранники (в $\mathbb{C}^1$) образуют бесконечную серию, аналогичную действительным 2-мерным правильным многоугольникам. Дальше:

в размерности 2 - в дополнение к действительным многогранникам, есть две бесконечные серии и 19 исключительных случаев;
в размерности 3 - -"- есть две бесконечные серии и 3 исключительных случая;
в размерности 4 - -"- есть две бесконечные серии и 1 исключительный случай;
в размерности $n>4$ - -"- есть две бесконечные серии.

Например, в размерности 2 появляются очень интересные дуопризмы и дуопирамиды:

Какие у них группы симметрии? В

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_reflection_group

не написано о них ни подробностей структуры, ни тем более исключительных изоморфизмов.

----------------

Над конечными полями?
      Определения, модифицированные для $\mathbb{C}^n,$ легко (почти автоматически) переносятся на $(\mathbb{Z}_p)^n,(\mathbb{F}_q)^n,$ но в Wikipedia про это ни слова. Известны ли правильные многогранники хотя бы в $(\mathbb{Z}_2)^n,(\mathbb{Z}_3)^n,(\mathbb{Z}_5)^n,(\mathbb{Z}_7)^n,(\mathbb{Z}_{11})^n$? (Я специально упоминаю побольше, потому что в совсем малых характеристиках могут возникнуть новые трудности.) Какие у них группы симметрии?

[Narn]

Про конечные поля ничего не видел. Про пространство Лобачевского есть в статье Бугаенко в Мат. просвещении
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mp&paperid=119&option_lang=rus, может, и в других статьях этого выпуска что-то еще будет.

[Munin]

Про гиперболическое пространство и в Wikipedia дофига есть. Но просто мне сейчас не интересна эта тема. Извините. Сейчас у меня какой-то "алгебраический" период интереса, а не "дифгеометрический".
(Вообще в гиперболическое можно впихнуть больше, чем в плоское. Например, плоские замощения там бывают из любых $k$-угольников.)

[Narn]

(Оффтоп)

Прошу прощения, это я не так прочитал - у вас под $\mathbb{H}^n$ имелось в виду $n$-мерное пространство кватернионов, а мне почему-то померещилось гиперболическое.

[Munin]

Да, извините, это я не озвучил. Кватернионы.