2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Правильные многогранники - что и где почитать?
Сообщение09.09.2019, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
TL: пока я нашёл только Wikipedia и Coxeter. Regular Polytopes, Regular Complex Polytopes.
Мне интересны: правильные многогранники в пространствах $\mathbb{H}^n,(\mathbb{Z}_p)^n\equiv(\mathbb{F}_p)^n,(\mathbb{F}_q)^n,$ их группы симметрии, и как они раскладываются, интерпретируются и соотносятся с группами типа Ли ($A,B,C,D;E,F,G,$...), в частности, диаграммы Коксетера и Коксетера-Дынкина.

----------------

Правильные многогранники
      Правильные многогранники известны всем: это пять многогранников в трёхмерном пространстве (Platonic solid), а именно, тетраэдр, куб (гексаэдр), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline
&\textit{2-грань}&\textit{граней в вершине}&\mathrm{Schl\ddot{a}fli\,symbol}&\textit{вершин}&\textit{рёбер}&\textit{граней} \\ \hline
\text{tetrahedron} & 3,\{3\} & 3 & \{3,3\} & 4 & 6 & 4 \\ \hline
\text{cube (hexahedron)} & 4,\{4\} & 3 & \{4,3\} & 8 & 12 & 6 \\ \hline
\text{octahedron} & 3,\{3\} & 4 & \{3,4\} & 6 & 12 & 8 \\ \hline
\text{dodecahedron} & 5,\{5\} & 3 & \{5,3\} & 20 & 30 & 12 \\ \hline
\text{icosahedron} & 3,\{3\} & 5 & \{3,5\} & 12 & 30 & 20 \\ \hline
\end{array}$
      Двойственность: у каждого многогранника есть двойственный ему - такой, который получается заменой вершин на грани, а граней на вершины. Например, в центре тяжести каждой грани можно отметить точку, и сделать её вершиной нового многогранника, соединяя их соответственно через рёбра, и так далее. (В действительном случае, можно просто взять выпуклую оболочку получившихся точек, но дальше такая конструкция не обобщается.)
      Символ Шлёфли: это обозначение $\{p,q\}$ выражает ту мысль, что "в вершине сходятся $q$ штук $p$-угольных граней", или что порядок грани $p,$ а порядок вершины $q.$ Дальше символ Шлёфли будет определяться по индукции: для $(n-1)$-мерной грани записывается её символ Шлёфли, а в конце дописывается, сколько таких граней сходится  в одной вершине  в одном элементе коразмерности 3. Для двойственного многогранника получается тот же символ Шлёфли, что и для исходного многогранника, но записанный задом наперёд.
      Тетраэдр двойственен сам себе (самодвойственен), куб двойственен октаэдру, додекаэдр двойственен икосаэдру.
      Vertex figure (линк вершины или вершинная фигура): часто интересна не грань, а окрестность вершины. Наглядно vertex figure можно себе представить как форму среза, если отсечь малую окрестность вершины плоскостью. На языке абстрактных многогранников она определяется иначе: это все грани, инцидентные данной вершине (то есть, содержащие её). Abstract_polytope#Vertex_figures Но по сути, получается та же фигура. Символ Шлёфли для vertex figure можно найти, если вычеркнуть первую цифру в символе Шлёфли для всего многогранника.
      Группа симметрии: она переводит многогранник в себя, то есть является подгруппой движений (изометрий) пространства. Но в других пространствах может не быть изометрий. Поэтому группа симметрии многогранника - это та группа, которая переводит его флаги в его флаги. Флаг - это набор из вершины, инцидентного ей ребра, инцидентной им грани, и так далее, до полной размерности $n.$ И обратно, это позволяет определить правильный многогранник: это такой многогранник, группа симметрии которого действует на его флагах транзитивно, то есть в ней найдётся преобразование, переводящее любой заданный флаг в любой заданный. Группы симметрии двойственных многогранников совпадают, очевидно.

Группы симметрии правильных многогранников - это:
    полная группа тетраэдра $T_d$ - Wiki, Wikiversity, порядка 24;
    полная группа октаэдра $O_h$ (она же группа симметрий куба) - Wiki, Wikiversity, порядка 48;
    полная группа икосаэдра $I_h$ (она же группа симметрий додекаэдра) - Wiki, порядка 120.
Если запретить отражения - несобственные движения - то получаются "просто" (= хиральные) группы тетраэдра $T$ порядка 12, октаэдра $O$ порядка 24, икосаэдра $I$ порядка 60. (Эти обозначения - символы Шёнфлиса (Schönflies), придуманы в 19 веке для кристаллографии, и здесь уже не вполне удобны и логичны, но традиционны. Также есть нотация Коксетера и диаграммы Коксетера.) Эти полные группы порождаются отражениями, и они, и их подгруппы, называются группами Коксетера (Wiki), в комплексном случае - Shephard group (Wiki).

Кроме того, есть другие интересные родственные группы:
    пиритоэдральная группа $T_h$ порядка 24, $T<T_h,$ $T_h\ncong T_d,$ Wikiversity;
    бинарные группы $2T,2O,2I$ порядков 24, 48, 120, которые являются двойными накрытиями соответствующих хиральных групп, однако не содержат их в качестве подгрупп. $2T$ Wiki, $2O$ Wiki, $2I$ Wiki.
Все эти группы, кроме бинарных, могут быть реализованы как действительные матрицы $3\times 3,$ а бинарные - как комплексные матрицы $2\times 2.$ Таким образом, всё это конечные подгруппы в $\mathrm{O}(3),\mathrm{SO}(3),\mathrm{SU}(2).$ Кроме того, они изоморфны:
    $T_d\cong O\cong S_4,$     $T\cong A_4=\mathrm{PSL}(2,3),$     $T_h\cong T\times\mathbb{Z}_2,$     $2T\cong Q\rtimes\mathbb{Z}_3,$
    $O_h\cong S_2^3\rtimes S_3=S_4\times\mathbb{Z}_2,$     $O\cong S_4,$     $2O\cong?,$
    $I_h\cong A_5\times\mathbb{Z}_2,$     $I\cong A_5=\mathrm{PSL}(2,4)=\mathrm{PSL}(2,5),$     $2I\cong\mathrm{SL}(2,5),$
где $S_n$ и $A_n$ - симметрическая и знакопеременная группы (группы перестановок и чётных перестановок), $Q$ - группа кватернионов (Wiki). $\mathrm{SL}(n,q)$ Wiki, $\mathrm{PSL}(n,q)=\mathrm{SL}(n,q)/Z(\mathrm{SL}(n,q))$ Wiki.

----------------

В других размерностях
      В размерности 2 для любого $k$ существует правильный $k$-угольник, и он самодвойственный. (Традиционно полагается $k\geqslant 3,$ но с абстрактной точки зрения может быть удобно учитывать и $k=2,$ и даже $k=1.$) Итого, есть бесконечная серия. Символы Шлёфли $\{k\}.$ Группы симметрий этих многоугольников - (без отражений) $\mathbb{Z}_k$ и (с отражениями) $\mathrm{Dih}_k$ (Wiki), их двойные накрытия - $\mathbb{Z}_{2k}$ (?) и $\mathrm{Dic}_k$ (Wiki).

https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_polytope
(Для разных размерностей есть разные термины: полихоры, политопы и т. д. - я не буду ими пользоваться, пока могу.)

      В размерности 4 существует шесть различных многогранников:
    из тетраэдров $\{3,3\}$ получается
      5-ячейник (симплекс) $\{3,3,3\},$
      16-ячейник (гипероктаэдр) $\{3,3,4\},$
      600-ячейник $\{3,3,5\}$;
    из кубов $\{4,3\}$ получается 8-ячейник (гиперкуб) $\{4,3,3\}$;
    из октаэдров $\{3,4\}$ получается 24-ячейник $\{3,4,3\}$;
    из додекаэдров $\{5,3\}$ получается 120-ячейник $\{5,3,3\}.$
Их двойственности: симплекс двойственен сам себе, гиперкуб - гипероктаэдру, 24-ячейник - сам себе, 120- и 600-ячейники - друг другу. Их группы симметрии: $A_4,$ $B_4=C_4,$ $F_4,$ $H_4$ (это уже обозначения Коксетера, Wiki).

      Во всех старших размерностях существует три правильных многогранника:
    симплекс $\{3,\ldots,3\}$;
    гипероктаэдр $\{3,\ldots,3,4\}$;
    гиперкуб $\{4,3,\ldots,3\}.$
Симплекс двойственен сам себе, гиперкуб - гипероктаэдру. Их группы симметрии: $A_n,$ $B_n=C_n.$

----------------

В неплоских пространствах (сферическое, эллиптическое, гиперболическое = Лобачевского) возможны другие варианты, или невозможны какие-то из перечисленных.
Некоторые определения обобщаются на звёздчатые многогранники и на регулярные замощения пространства.
Во всё это я залезать не буду.

----------------

В комплексных пространствах $\mathbb{C}^n$
https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_polytope
      В случае комплексного пространства приходится несколько изменить определения. Комплексный многогранник нельзя рассматривать как непрерывную поверхность, как границу области. Вместо этого, каждую грань мы заменяем на плоскость (аффинное подпространство). В [^] написана какая-то чушь (например, там многогранник может не содержать ни одной вершины), так что лучше взять определение абстрактного многогранника Wiki, и добавить уже известное условие группы, действующей транзитивно на флагах.

      Мир комплексных правильных многогранников богаче. Уже 1-мерные многогранники (в $\mathbb{C}^1$) образуют бесконечную серию, аналогичную действительным 2-мерным правильным многоугольникам. Дальше:
    в размерности 2 - в дополнение к действительным многогранникам, есть две бесконечные серии и 19 исключительных случаев;
    в размерности 3 - -"- есть две бесконечные серии и 3 исключительных случая;
    в размерности 4 - -"- есть две бесконечные серии и 1 исключительный случай;
    в размерности $n>4$ - -"- есть две бесконечные серии.
Например, в размерности 2 появляются очень интересные дуопризмы и дуопирамиды:
    Изображение Изображение

Какие у них группы симметрии? В
не написано о них ни подробностей структуры, ни тем более исключительных изоморфизмов.

----------------

Над конечными полями?
      Определения, модифицированные для $\mathbb{C}^n,$ легко (почти автоматически) переносятся на $(\mathbb{Z}_p)^n,(\mathbb{F}_q)^n,$ но в Wikipedia про это ни слова. Известны ли правильные многогранники хотя бы в $(\mathbb{Z}_2)^n,(\mathbb{Z}_3)^n,(\mathbb{Z}_5)^n,(\mathbb{Z}_7)^n,(\mathbb{Z}_{11})^n$? (Я специально упоминаю побольше, потому что в совсем малых характеристиках могут возникнуть новые трудности.) Какие у них группы симметрии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Правильные многогранники - что и где почитать?
Сообщение10.09.2019, 00:19 


28/05/08
281
Трантор
Про конечные поля ничего не видел. Про пространство Лобачевского есть в статье Бугаенко в Мат. просвещении
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mp&paperid=119&option_lang=rus, может, и в других статьях этого выпуска что-то еще будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правильные многогранники - что и где почитать?
Сообщение10.09.2019, 00:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Про гиперболическое пространство и в Wikipedia дофига есть. Но просто мне сейчас не интересна эта тема. Извините. Сейчас у меня какой-то "алгебраический" период интереса, а не "дифгеометрический".
(Вообще в гиперболическое можно впихнуть больше, чем в плоское. Например, плоские замощения там бывают из любых $k$-угольников.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Правильные многогранники - что и где почитать?
Сообщение10.09.2019, 01:24 


28/05/08
281
Трантор

(Оффтоп)

Прошу прощения, это я не так прочитал - у вас под $\mathbb{H}^n$ имелось в виду $n$-мерное пространство кватернионов, а мне почему-то померещилось гиперболическое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правильные многогранники - что и где почитать?
Сообщение10.09.2019, 14:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Да, извините, это я не озвучил. Кватернионы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group