2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по планиметрии, диаметр и хорда перес. под углом 45
Сообщение07.09.2019, 14:16 
Аватара пользователя


19/06/14
44
Дана окружность радиуса $R$, в которой $AB$ диаметр. Хорда $CD$ пересекает $AB$ в точке $M$, причем $\angle CMB =45^\circ$.
Доказать, что $CM^2+DM^2=2R^2$.

Я решил эту задачу нерациональным способом, ввёл систему координат, использовал ур-е окружности и ур-е прямой $CD$ , нашел координаты точек $C$ и $D$. Далее показал аналитически, что $CM^2+DM^2=2R^2$.

Буду признателен, если подскажете более "геометрическое" решение. Думаю, что надо использовать подобие$\triangle AMD$ и $\triangle CMB$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии, диаметр и хорда перес. под углом 45
Сообщение07.09.2019, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13280
Москва
Fizykochemik в сообщении #1414016 писал(а):
Дана окружность радиуса $R$, в которой $AB$ диаметр. Хорда $CD$ пересекает $AB$ в точке $M$, причем $\angle CMB =45^\circ$.
Доказать, что $CM^2+DM^2=2R^2$.

Мне это утверждение не кажется верным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии, диаметр и хорда перес. под углом 45
Сообщение07.09.2019, 17:37 
Заслуженный участник


12/08/10
1038
Если отразить точку $D$ относительно диаметра то дуга $D'C$ имеет постоянную длину.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии, диаметр и хорда перес. под углом 45
Сообщение07.09.2019, 18:54 
Аватара пользователя


19/06/14
44
Null в сообщении #1414043 писал(а):
Если отразить точку $D$ относительно диаметра то дуга $D'C$ имеет постоянную длину.

Да, дальше всё элементарно. Теорема Пифагора для $\triangle MCD'$, а потом теорема синусов для $\triangle DD'C$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group