2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по планиметрии, диаметр и хорда перес. под углом 45
Сообщение07.09.2019, 14:16 
Аватара пользователя


19/06/14
49
Дана окружность радиуса $R$, в которой $AB$ диаметр. Хорда $CD$ пересекает $AB$ в точке $M$, причем $\angle CMB =45^\circ$.
Доказать, что $CM^2+DM^2=2R^2$.

Я решил эту задачу нерациональным способом, ввёл систему координат, использовал ур-е окружности и ур-е прямой $CD$ , нашел координаты точек $C$ и $D$. Далее показал аналитически, что $CM^2+DM^2=2R^2$.

Буду признателен, если подскажете более "геометрическое" решение. Думаю, что надо использовать подобие$\triangle AMD$ и $\triangle CMB$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии, диаметр и хорда перес. под углом 45
Сообщение07.09.2019, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13513
Москва
Fizykochemik в сообщении #1414016 писал(а):
Дана окружность радиуса $R$, в которой $AB$ диаметр. Хорда $CD$ пересекает $AB$ в точке $M$, причем $\angle CMB =45^\circ$.
Доказать, что $CM^2+DM^2=2R^2$.

Мне это утверждение не кажется верным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии, диаметр и хорда перес. под углом 45
Сообщение07.09.2019, 17:37 
Заслуженный участник


12/08/10
1104
Если отразить точку $D$ относительно диаметра то дуга $D'C$ имеет постоянную длину.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по планиметрии, диаметр и хорда перес. под углом 45
Сообщение07.09.2019, 18:54 
Аватара пользователя


19/06/14
49
Null в сообщении #1414043 писал(а):
Если отразить точку $D$ относительно диаметра то дуга $D'C$ имеет постоянную длину.

Да, дальше всё элементарно. Теорема Пифагора для $\triangle MCD'$, а потом теорема синусов для $\triangle DD'C$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DfdQwd


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group