Задача по планиметрии, диаметр и хорда перес. под углом 45

[Fizykochemik]

Дана окружность радиуса $R$, в которой $AB$ диаметр. Хорда $CD$ пересекает $AB$ в точке $M$, причем $\angle CMB =45^\circ$.
Доказать, что $CM^2+DM^2=2R^2$.

Я решил эту задачу нерациональным способом, ввёл систему координат, использовал ур-е окружности и ур-е прямой $CD$ , нашел координаты точек $C$ и $D$. Далее показал аналитически, что $CM^2+DM^2=2R^2$.

Буду признателен, если подскажете более "геометрическое" решение. Думаю, что надо использовать подобие$\triangle AMD$ и $\triangle CMB$.

[Brukvalub]

Fizykochemik в сообщении #1414016 писал(а):

Дана окружность радиуса $R$, в которой $AB$ диаметр. Хорда $CD$ пересекает $AB$ в точке $M$, причем $\angle CMB =45^\circ$.
Доказать, что $CM^2+DM^2=2R^2$.

Мне это утверждение не кажется верным.

[Null]

Если отразить точку $D$ относительно диаметра то дуга $D'C$ имеет постоянную длину.

[Fizykochemik]

Null в сообщении #1414043 писал(а):

Если отразить точку $D$ относительно диаметра то дуга $D'C$ имеет постоянную длину.

Да, дальше всё элементарно. Теорема Пифагора для $\triangle MCD'$, а потом теорема синусов для $\triangle DD'C$