Зорич. Т-ма об ограниченности сходящейся последовательности

[Roman_T]

В. А. Зорич писал(а):

Теорема 1.
d) Сходящаяся последовательность ограничена.
Пусть $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=A$. Полагая в определении предела $\varepsilon=1$, найдем номер $N$, такой, что $\forall n>N (|x_n-A|<1)$. Значит при $n>N$ имеем $|x_n|<|A|+1$. Если теперь взять $M>\max\{|x_1|,\dots,|x_n|,|A|+1\}$, то получим, что $\forall n>N (|x_n|<M)$.

У меня несколько вопросов:
1. В последнем утверждении наверно должно быть $\forall n\in\mathbb{N} (|x_n|<M)$?
2. В предпоследнем неравенстве вместо $|x_n|$ должно быть $|x_N|$? То есть $M>\max\{|x_1|,\dots,|x_N|,|A|+1\}$.
3. Я попытался обосновать переход от $|x_n-A|<1$ к $|x_n|<|A|+1$.

$$A-1<x_n<A+1\leqslant|A|+1$$ $$x_n<|A|+1$$

Если $x_n\geqslant0$, то $|x_n|<|A|+1$.
Если $x_n<0$, нам надо показать что $-x_n<|A|+1$.
Из неравенства $A-1<x_n$ следует

$$-x_n<-A+1\leqslant|A|+1$$

Отсюда $-x_n<|A|+1$ что и требовалось. Правильно ли я рассуждаю? Или можно проще?

[demolishka]

Roman_T в сообщении #1413566 писал(а):

1. В последнем утверждении наверно должно быть $\forall n\in\mathbb{N} (|x_n|<M)$?
2. В предпоследнем неравенстве вместо $|x_n|$ должно быть $|x_N|$? То есть $M>\max\{|x_1|,\dots,|x_N|,|A|+1\}$.

Да.

Roman_T в сообщении #1413566 писал(а):

Или можно проще?

$|x+y| \geq ||x|-|y|| \geq |x|-|y|$.

[thething]

Roman_T в сообщении #1413566 писал(а):

Или можно проще?

Нужно проще: $|x_n|=|x_n-A+A|\leq|x_n-A|+|A|$

[Roman_T]

thething
Круто, спасибо!
Так и думал что надо неравенство треугольника использовать.

-- 04.09.2019, 12:14 --

demolishka
Спасибо за помощь, получилось
$1>|x_n-A| \geq |x_n|-|A|$

Не понял только откуда берется это неравенство:

demolishka в сообщении #1413569 писал(а):

$|x+y| \geq ||x|-|y||$.

[demolishka]

Roman_T в сообщении #1413580 писал(а):

Не понял только откуда берется это неравенство:

Простое следствие из неравенства треугольника для модуля (или, в общем случае, нормы). Следует из двух неравенств: $|x| \leq |x-y| + |y|$ и $|y| \leq |x-y| + |x|$. Для данной задачи конечно достаточно одного из них (то которое и привел thething).

[Roman_T]

Из этих двух неравенств следует $|x|-|y|\leqslant|x-y|$ и $|x|-|y|\geqslant-|x-y|$, то есть $||x|-|y||\leqslant|x-y|$. Заменив $y$ на $-y$, получаем требуемое неравенство $||x|-|y||\leqslant|x+y|$.

demolishka
Спасибо!

[ewert]

Небольшой нюанс. Упомянутое следствие из неравенства треугольника знать нужно, конечно, в любом случае (оно много где требуется). Но здесь можно и без него: $|x_n-A|<1$ в точности означает, что $x_n\in(A-1;A+1)$, поэтому можно тупо оценить $|x_n|<\max\{|A-1|,|A+1|\}$ (этого достаточно -- нам ведь нужна хоть какая-то оценка).

Что любопытно -- все остальные детали зоричевского доказательства, по-видимому, абсолютно общеприняты.