Матрица перехода, обратная к ней и транспонированная

[SemDvs]

Добрый день!
Вводная: имеется матрица $A$, которая является переходом от старого базиса к новому (т.е. в столбцах которой представлены новые базисные вектора через старый базис). В таком случае, матрица $A^{-1}$ является переходом от нового к старому.

Вопрос: в столбцах матрицы $A$ записано представление нового базиса через старый, а в строках, получается - представление старого базиса, через новый. Если обратная к $A$ переводит в обратную сторону, тогда чем является $A^{T}$ (у которой в столбцах записан старый базис через новый)?

[pogulyat_vyshel]

SemDvs в сообщении #1413403 писал(а):

тогда чем является $A^{T}$ (

думаю что чем-то аналогичным для сопряженных базисов в сопряженном пространстве

[SemDvs]

pogulyat_vyshel в сообщении #1413405 писал(а):

SemDvs в сообщении #1413403 писал(а):

тогда чем является $A^{T}$ (

думаю что чем-то аналогичным для сопряженных базисов в сопряженном пространстве

Но почему не для этих же базисов? Ведь при транспонировании у нас содержимое столбцов и строк меняется местами... т.е. если было в столбцах представление новых векторов, через старые, то стало наоборот - представление старых векторов через новые.
Если в первом случае $V=A\tilde{V}$ выражение верно, то во втором случае: $\tilde{V} = A^{T}V$ оно уже не верно. Возможно у меня где-то неправильное логическое рассуждение?

[arseniiv]

SemDvs в сообщении #1413403 писал(а):

в столбцах матрицы $A$ записано представление нового базиса через старый, а в строках, получается - представление старого базиса, через новый

Нет, в столбцах $A^{-1}$ — старого через новый (как вы уже писали), а в строках $A^t$ ничего такого нет.

Транспонирование матрицы более-менее осмысленно, когда мы с какой-то стати хотим записывать координаты векторов двойственного пространства (ковекторы) в столбец, а не в строку (например когда у нас есть скалярное произведение, дающее менять одни на другие бездумно). Тогда транспонированная матрица — это матрица транспонированного оператора, переводящего ковектор в ковектор. Но мы можем применять этот оператор и пользуясь обычной матрицей — умножая на неё строки слева.

Матрица перехода — это просто матрица единичного оператора, записанного «в двух базисах», «входном» (в этом базисе принимается столбец координат аргумента) и «выходном» (в этом базисе получается столбец координат результата), так что можно будет понять, что даёт транспонирование. Обычно без транспонирования нельзя обойтись только при представлении матрицами координат билинейных и квадратичных форм — на бумаге неудобно писать строку, состоящую из строк (и вычислять с ней), а чтобы использовать обычные матрицы, придётся один из аргументов превращать из столбца в строку, что даст транспонирование матрицы перехода при собственно переходе.

[pogulyat_vyshel]

$\boldsymbol e_{i'}=A_{i'}^i\boldsymbol e_i,\quad \boldsymbol e^{i'}=A_{i}^{i'}\boldsymbol e^i,\quad A=(A_{i'}^i),\quad A^T=(A_{i}^{i'})$

[SemDvs]

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \alpha_1 = x_1\mu_1 + x_2\mu_2 \\ \alpha_2 = x_3\mu_1 + x_4\mu_2\\ \end{array} \right.$$

Отсюда получаем $A = \begin{pmatrix} x_1 x_3 \\ x_2 x_4 \\ \end{pmatrix}$, т.е. по столбцам представление $\alpha_i$ через $\mu_i$ - т.е. представление нового базиса через старый. В тот же момент, строки матрицы $A$ представляют собой обратный смысл:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \mu_1 = x_1\alpha_1 + x_3\alpha_2 \\ \mu_2 = x_2\alpha_1 + x_4\alpha_2\\ \end{array} \right. \Rightarrow \tilde{A} = \begin{pmatrix} x_1 x_2 \\ x_3 x_4 \\ \end{pmatrix}$$

И в данном случае, по столбцам находится представление старого базиса через новый базис. То есть $\tilde{A} = A^{T}$. А раз по логике, получается в столбцах представление старого базиса через новый, то это конкурирует с $A^{-1}$ - и тут я не понимаю почему так. Ведь именно $A^{-1}$ является обратным переходом.

[pogulyat_vyshel]

pogulyat_vyshel в сообщении #1413414 писал(а):

$\boldsymbol e_{i'}=A_{i'}^i\boldsymbol e_i,\quad \boldsymbol e^{i'}=A_{i}^{i'}\boldsymbol e^i,\quad A=(A_{i'}^i),\quad A^T=(A_{i}^{i'})$

последнее равенство -- это я ахинею написал

[SemDvs]

pogulyat_vyshel в сообщении #1413428 писал(а):

pogulyat_vyshel в сообщении #1413414 писал(а):

$\boldsymbol e_{i'}=A_{i'}^i\boldsymbol e_i,\quad \boldsymbol e^{i'}=A_{i}^{i'}\boldsymbol e^i,\quad A=(A_{i'}^i),\quad A^T=(A_{i}^{i'})$

последнее равенство -- это я ахинею написал

на сколько я понимаю, я на этой ахинеи и ломаюсь. И не понимаю, где логика сворачивает не туда (рассуждения описал выше)..

-- 03.09.2019, 16:08 --

arseniiv в сообщении #1413410 писал(а):

SemDvs в сообщении #1413403 писал(а):

в Нет, в столбцах $A^{-1}$ — старого через новый (как вы уже писали), а в строках $A^t$ ничего такого нет.

Не могли бы подсказать, в каком месте рассуждения (чуть выше) логика не правильная?

[arseniiv]

SemDvs в сообщении #1413430 писал(а):

Не могли бы подсказать, в каком месте рассуждения (чуть выше) логика не правильная?

Например откуда вы взяли вторую систему? — туда должны входить не $x_1,\ldots,x_4$, а элементы обратной $A$ матрицы.

-- Вт сен 03, 2019 21:43:56 --

Тут есть одна неприятная проблема в терминологии (насколько я в курсе; хотя если читать только какую-то одну книгу, этого будет не видно) в том, что сопряжённым и/или транспонированным отображением называют иногда две разные вещи.

Первая определена для любого линейного отображения $L\colon V\to W$, обозначим её $L^*\colon W^*\to V^*$ и определяется она как $(fL^*)\mathbf v = f(L\mathbf v)$, где $\mathbf v\in V, f\in W^*$ произвольные; более аккуратно это будет $L^* = f\mapsto f\circ L$ (но так труднее видеть естественность?..).

Вторая определена только для таких отображений $L$, что $V, W$ имеют какие-то (невырожденные) билинейные формы $(\cdot,\cdot)_V, (\cdot,\cdot)_W$ (обычно скалярное произведение или эрмитово скалярное произведение). Тогда можно определить $L^t\colon W\to V$ таким образом: $(L^t\mathbf w,\mathbf v)_V = (\mathbf w, L\mathbf v)_W$, где $\mathbf v\in V, \mathbf w\in W$ произвольные. Можно определить $L^t$ через $L^*$ и билинейные формы.

Вторая штука делает из матрицы транспонированную, используя канонические скалярные произведения на пространствах $n$-элементных столбцов, столбцам $x^j, y^j$ сопоставляющие $x^1y^1 + \ldots + x^ny^n$. Первая штука оставляет матрицу как есть, мы просто умножаем её не на столбец, а на строку. С учётом того, что матрица линейного отображения определена для любого отображения $L$, будь только выбраны базисы в $V, W$, нам не обязательно интересоваться транспонированными матрицами, пока мы не начнём говорить о каких-нибудь евклидовых или гильбертовых $V, W$. Когда начнём, тогда сможем например умножать матрицу на транспонированную к ней с осмысленным результатом.

[SemDvs]

arseniiv в сообщении #1413445 писал(а):

Например откуда вы взяли вторую систему? — туда должны входить не $x_1,\ldots,x_4$, а элементы обратной $A$ матрицы.

Тогда получается, что представление о сущности строк в $A$ не верны и там не находится представление старого базиса через новый. Но тогда можно как-то интерпретировать строки матрицы $A$?

-- 04.09.2019, 07:52 --

Вообще, ноги растут от:
Если $X$ представлен в базисе $e_1,\dots,e_n$, а $\tilde{X}$ в базисе $\tilde{e_1},\dots,\tilde{e_n}$ и матрица $C$ производит переход от $e_n$ к $\tilde{e_n}$. Как это название перехода от "старого" к новому вяжется с выражением $X = C\tilde{X}$, ведь тут получается результат в старом базисе...

[SemDvs]

Понял свою ошибку.
В строках матрицы $A$ находятся просто коэффициенты каждого старого базисного вектора для представления каждого нового базисного вектора.
Поэтому при перемножении $X = A\tilde{X}$ мы и получаем значения координат в конкретных векторах старого базиса. А сама матрица перехода называется "от старой к новой" (хотя в выражении $X = A\tilde{X}$ по факту происходит наоборот) просто по содержимому столбцов.

[arseniiv]

Вы тут почему-то с одной стороны только умножаете на матрицу перехода — тогда получится матрица оператора, где аргумент в одном базисе, а результат в другом. Надо с обеих сторон, чтобы оба перевести в другой.