Дифференциал и касательная

[Dan B-Yallay]

oleg.k в сообщении #1413513 писал(а):

Ну не все же функции $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Иногда бывают и с дырками.

Ну дык к чему рассматривать дифференциал функции на множестве, на котором сама функция не определена, какой в этом смысл? ?
Чему равен дифференциал $d(\sqrt{x})|_{x = -3}$ ?

А ежели вам в силу каких-то причин хочется иметь "недырявый" дифференциал на всём $\mathbb R $ то может, имеет смысл сначала дооопределить на $\mathbb R $ саму функцию?

[oleg.k]

Dan B-Yallay в сообщении #1413518 писал(а):

Ну дык к чему рассматривать дифференциал функции на множестве, на котором сама функция не определена, какой в этом смысл? ?

Я в каждом первом сообщении топлю за то, чтобы позволить дифференциалам быть с дырками и не доопределять их до обычной линейной всюду определенной функции... Мисандерстендинг вобщем получился.

-- 04.09.2019, 00:00 --

wrest в сообщении #1413515 писал(а):

... что дифференциал это линейная часть приращения функции, а также что дифференциал аргумента равен приращению аргумента, то есть отвечает сразу по нескольким вашим непоняткам.

На момент отправки моего комментария post1413517.html#p1413517 я у Вас это продолжение не видел. Что иронично. Вы мне пишите ровно то, что на мой взгляд является ошибочным. Линейная часть приращения - это не дифференциал. Это значение дифференциала, которое он принимает на приращении аргумента $\Delta x$. Про "дифференциал аргумента" тоже самое: нету никакого "дифференциала аргумента". Есть дифференциал функции, значения которой совпадают с приращениями аргумента. И этот дифференциал совпадает с самой этой функцией. Это является оправданием писать "дифференциал аргумента равен приращению аргумента" но это все вольность речи, не более. Да, удобно. Т.к. не противоречит обозначению производной по Лейбницу. Но я подозреваю, что Лейбниц имел в виду совсем другое..

[arseniiv]

oleg.k в сообщении #1413513 писал(а):

Я собственно к этому и веду. Если мы считаем дифференциал "всегда недырявым", то "касательная функции в точке - это ее дифференциал в этой точке" и у нас получаются 2 разных названия одной и той же линейной функции.

Ну вот вы с одной стороны схлопываете разные понятия в одно, а с другой пытаетесь рассматривать (или менять) тонкие детали определений. Это как-то несовместимо, я лично не понимаю что можно отвечать в таком случае.

По крайней мере я уже выше писал, что касательная в $(x_0, f(x_0))$ — это график линейного приближения, нельзя вот так просто отождествлять её с $df(x_0)$ хотя бы потому что уже его график это прямая, проходящая обязательно через $(0, 0)$. И ещё потому что график функции и функция — это не одно и то же. И ещё потому что касательную вы не везде нарисуете, см. опять же пост с той страницы, и расширять понятие касательной гиперплоскости на пространства, где нет гиперплоскостей, не имеет ценности.

UPD. Более того, касательная (к кривой, к поверхности… — без связи с графиками функций) обобщается как раз до более абстрактного касательного пространства — уже отдельного, никак не вложенного куда-то, куда вложено то, к чему оно касательное, потому что и то может быть никуда не вложено — из которого и в которое (другое) в общем случае действует дифференциал в точке. То есть ваше обобщение в конечном итоге создало бы путаницу с имеющимся.

[Dan B-Yallay]

oleg.k в сообщении #1413522 писал(а):

Я в каждом первом сообщении топлю за то, чтобы позволить дифференциалам быть с дырками и не доопределять их до обычной линейной всюду определенной функции.

А что это даёт в плане пользы народному хозяйству? Неберущиеся интегралы станут браться или гипотеза Римана докажется?

[oleg.k]

arseniiv в сообщении #1413531 писал(а):

...и расширять понятие касательной гиперплоскости на пространства, где нет гиперплоскостей, не имеет ценности.

Звучит круто

arseniiv в сообщении #1413531 писал(а):

И ещё потому что график функции и функция — это не одно и то же.

До меня дошло . Упорядоченные тройки разные. Функции не совпадут.

[warlock66613]

Функция и график функции - это разные вещи, но, кроме того, касательная не является и графиком функции в общем случае.