Я собственно к этому и веду. Если мы считаем дифференциал "всегда недырявым", то "касательная функции в точке - это ее дифференциал в этой точке" и у нас получаются 2 разных названия одной и той же линейной функции.
Ну вот вы с одной стороны схлопываете разные понятия в одно, а с другой пытаетесь рассматривать (или менять) тонкие детали определений. Это как-то несовместимо, я лично не понимаю что можно отвечать в таком случае.
По крайней мере я уже выше писал, что касательная в
— это график линейного приближения, нельзя вот так просто отождествлять её с
хотя бы потому что уже его график это прямая, проходящая обязательно через
. И ещё потому что график функции и функция — это не одно и то же. И ещё потому что касательную вы не везде нарисуете, см. опять же пост с той страницы, и расширять понятие касательной гиперплоскости на пространства, где нет гиперплоскостей, не имеет ценности.
UPD. Более того, касательная (к кривой, к поверхности… — без связи с графиками функций) обобщается как раз до более абстрактного касательного пространства — уже отдельного, никак не вложенного куда-то, куда вложено то, к чему оно касательное, потому что и то может быть никуда не вложено — из которого и в которое (другое) в общем случае действует дифференциал в точке. То есть ваше обобщение в конечном итоге создало бы путаницу с имеющимся.