Касательная -- это прямая линия (задаваемая уравнением, прямая это геометрическое понятие, связанное к тому же с декартовой системой координат, на которой изображается график функции в виде кривой).
Я понимаю касательную как некоторую линейную функцию (
), заданную в той же системе координат, что и график функции
и проходящую через точку
. Так можно? А то у Вас как-то сложно
Дифференциал -- это функция двух переменных (аргумента и приращения аргумента).
Зачем "двух переменных"? Рассмотрим некоторую функцию
, заданную на множестве
. Точка
- предельная для
. Тогда функция
, рассматриваемая в точке
, может породить новую линейную функцию
с очень приятными свойствами. Вот ее мы и назовем дифференциалом функции
в точке
. Да, у нас не будет единого дифференциала для всей функции
. Для каждой точки будет свой дифференциал. Конечно, дифференциал, вообще говоря, "дырявая" линейная функция (т.е. определена не на
).Более того, она определена не в той же системе координат, что и функция
. Но это не проблема: при желании можно определить дифференциал, как "дырявую" линейную функцию, заданную в той же системе координат, что и
. Если взять две ее любые точки, превратить в нормальную линейную функцию и переместить по оси
на
, то получим касательную. Имхо, нет ничего криминального в том, чтобы говорить, что "касательная - это дифференциал".