Равенство комплексных чисел.

[Sdy]

Читаю книгу "Linear Algebra Done Right", за авторством Sheldon Axler.
Комплексные числа вводятся как пары вещественных чисел $(a, b)$, имеющие специальную форму записи в виде $a+bi$. Далее определяется сложение комплексных чисел как $z_1 + z_2 = (a+b) + (c+d)i$ и умножение как $z_1z_2 = (ac-bd) + (ad+bc)i$.
Далее доказываем, что $i^2 = (0+i)(0+i) = (0-1)+(0+0)i = -1$.
Затем мы начинаем доказывать, что множество комплексных чисел ($\mathbb{C} = {a+bi : a,b \in \mathbb{R}}$) - поле, то есть, что определенные вышенаписанным образом операции над элементами данного множества удовлетворяют определенным свойствам. До этого момента у меня всё строго в голове укладывается.
А вот как только мы начинаем доказывать эти свойства, у меня возникает вопрос, когда мы успели определить равенство комплексных чисел? (Я ранее активно оперировал комплексными числами, но такого вопроса не возникало). Да, конечно я знаю, что $z_1 = z_2 \Leftrightarrow \operatorname{Re}(z_1) = \operatorname{Re}(z_2) \wedge \operatorname{Im}(z_1) = \operatorname{Im}(z_2)$. Но как это доказать? Я пробовал доказывать пользуясь только тем, что Axler успел дать до момента, когда он сам этим воспользовался. Но все упирается в то что при доказательство этого свойства я его же и использую. Если же это принимается за фактически определение равенства, почему об этом не было написано ранее? Почему он сразу же воспользовался этим фактом?

[Xaositect]

Sdy в сообщении #1413346 писал(а):

Комплексные числа вводятся как пары вещественных чисел $(a, b)$

Пары равны в точности тогда, когда у них равны соответствующие компоненты.

[Sdy]

Xaositect, спасибо за ответ.
Это конкретно определение равенства, которое не может быть выведено? Я правильно понимаю?
Это же ведь тоже самое, что и

Sdy в сообщении #1413346 писал(а):

$z_1 = z_2 \Leftrightarrow \operatorname{Re}(z_1) = \operatorname{Re}(z_2) \wedge \operatorname{Im}(z_1) = \operatorname{Im}(z_2)$

?

[arseniiv]

Sdy в сообщении #1413351 писал(а):

Это конкретно определение равенства, которое не может быть выведено? Я правильно понимаю?

Да, это часть определения упорядоченной пары (или его следствие, смотря как определять).

Да, это то же, что вы написали, ведь при определении комплексных чисел как пар мы определяем $\operatorname{Re}\,(x,y) = x$ и $\operatorname{Im}\,(x,y) = y$.

[Xaositect]

Да, это определение равенства для пар.
Это, собственно, основное свойство пар, для которого они и вводятся в принципе.

[Sdy]

arseniiv, спасибо за ответ.
Просто ни автор, ни мое гугление не дали мне однозначный ответ, что это именно "аксиоматическое определение". И я усиленно пытался доказать это утверждение в обе стороны, пользуясь лишь уже определёнными понятиями.

-- 03.09.2019, 04:37 --

Xaositect, спасибо Вам.

[ozheredov]

arseniiv в сообщении #1413352 писал(а):

определяем $\operatorname{Re}\,(x,y) = x$ и $\operatorname{Im}\,(x,y) = y$

Теперь действительная и мнимая часть выглядят как функции двух аргументов

[arseniiv]

ozheredov в сообщении #1413356 писал(а):

Теперь действительная и мнимая часть выглядят как функции двух аргументов

Технически при обычно принимаемых определениях функция $n$ аргументов — это функция из $n$-элементных кортежей, так что любая функция из пар будет действительно и функцией двух аргументов.

[ozheredov]

arseniiv в сообщении #1413360 писал(а):

это функция из $n$-элементных кортежей

а, тогда ОК. Просто непривычная запись

[ewert]

Sdy в сообщении #1413346 писал(а):

Комплексные числа вводятся как пары вещественных чисел $(a, b)$, имеющие специальную форму записи в виде $a+bi$. Далее определяется сложение комплексных чисел как $z_1 + z_2 = (a+b) + (c+d)i$ и умножение как $z_1z_2 = (ac-bd) + (ad+bc)i$.

Если в книжке буквально так, то это неправильная последовательность. Надо сначала определить сложение и умножение. Потом отождествить пары определённого вида с вещественными числами -- и, конечно, доказать, что это соответствие есть изоморфизм. Потом, да, определить мнимую единицу и доказать, что её квадрат есть минус единица (в соответствии с предыдущим отождествлением).

И лишь потом -- лишь в самом конце -- следует доказать, что пары можно записывать в виде $a+bi$.

Вот это всё, и именно в такой последовательности, безусловно необходимо. А вот проверять ли аксиомы поля -- дело вкуса. Мне лично это представляется крохоборством.

[beroal]

arseniiv в сообщении #1413352 писал(а):

Sdy в сообщении #1413351

писал(а):
Это конкретно определение равенства, которое не может быть выведено? Я правильно понимаю? Да, это часть определения упорядоченной пары (или его следствие, смотря как определять).

Я считаю, надо здесь надо разъяснить. Если вы строите математику на теории множеств, то то, что

Xaositect в сообщении #1413350 писал(а):

Пары равны в точности тогда, когда у них равны соответствующие компоненты.

всё-таки доказывается исходя из определения пары через множества. Просто эта теорема не специфична для комплексных чисел или алгебры, поэтому её нет в учебниках по алгебре. Я не имею в виду, что вам нужно бросить алгебру и заниматься теорией множеств. Пожалуй, лучше поверить в это утверждение сейчас, а с его доказательством разобраться в будущем.

ewert в сообщении #1413692 писал(а):

Если в книжке буквально так, то это неправильная последовательность. Надо сначала определить сложение и умножение. … И лишь потом -- лишь в самом конце -- следует доказать, что пары можно записывать в виде $a+bi$.

Кстати, да. Ну, любой учебник не идеален.

Если доказывать, что операции на комплексных числах удовлетворяют аксиомам поля, кажется нудным, тогда есть другой путь — факторкольцо $\mathbb{R}[X]/I$, где идеал $I$ порождён многочленом, который легко угадать.

[arseniiv]

beroal в сообщении #1413863 писал(а):

Пожалуй, лучше поверить в это утверждение сейчас, а с его доказательством разобраться в будущем.

Потом не обязательно ведь строить математику на теории множеств, или даже специфически на теории множеств без атомарных пар (я нигде не видел рассмотрения теорий с атомарными парами, но его нет только потому что ничего существенно нового там не возникает и провести его можно механически, модифицировав какую-то теорию без них), а в теории с ними была бы отдельная независимая от остальных «аксиома экстенсиональности пары».

[Sdy]

ewert, спасибо за ответ.

ewert в сообщении #1413692 писал(а):

Если в книжке буквально так, то это неправильная последовательность

Да, Axler дословно пишет при определении комплексных чисел:

Axler писал(а):

A complex number is an ordered pair $(a,b)$ where $a$,$b$ $\in \mathbb{R}$, but we will write this as $a+bi$.

И лишь затем определяет сложение и умножение.

Но я параллельно еще читаю Привалов, Введение в теорию функций комплексного переменного и там идёт изложение в таком порядке, как Вы и написали.
И тогда, определив умножение и сложение можно доказать что при определенных таких образом операциях $(a,b)$ можно записать как $a+bi$.
$(a,b) = (a, 0) + (0, b) = (a,0) + (b,0)(0, 1) = a + bi$.
Но тут ещё возникает вопрос.

ewert в сообщении #1413692 писал(а):

Потом отождествить пары определённого вида с вещественными числами -- и, конечно, доказать, что это соответствие есть изоморфизм.

Это делается таким образом?
1.Введём отображение $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}, a \to (a,0)$.
2.Докажем, что это отображение сохраняет операции сложения и умножения.
$f(a) + f(b) = (a,0) + (b, 0) = (a+b, 0 + 0) = (a+b, 0) = f(a+b)$.
$f(a)f(b) = (a,0)(b,0) = (ab-0, 0+0) = (ab,0) = f(ab)$.
Таким образом, действия на образах согласуются с действиями на прообразах (арифметическими действиями над вещественными числами). То есть рассматривая множество вещественных чисел как подмножество комплексных чисел, мы можем оперировать над ними таким же образом, как оперировали до введения нового поля.
Это верно? Привалов говорит об этом, но не оперирует понятием "изоморфизм" (относительно полей я также не знал что это) и не вводит явно отображение, говорят, что "условимся обозначать".

-- 09.09.2019, 20:31 --

beroal, спасибо за ответ.
До "не наивной" теории множеств я доберусь только после того как почувствую что владею стандартным материалом на достаточном уровне. Но да, уже иногда возникает желание хотя бы в Википедии посмотреть, как же там строится эта пресловутая $ZFC$, что там не возникает таких вопросов.

beroal в сообщении #1413863 писал(а):

Если доказывать, что операции на комплексных числах удовлетворяют аксиомам поля, кажется нудным, тогда есть другой путь — факторкольцо $\mathbb{R}[X]/I$, где идеал $I$ порождён многочленом, который легко угадать.

Видел такое (если я правильно усвоил обозначения) у Terence Tao, вот тут - https://terrytao.wordpress.com/2016/09/ ... x-numbers/ , но почувствовал, что это куда более сложная теория, и хоть этот подход и "общий" для таких дел, придется его тоже отложить.

[beroal]

Sdy в сообщении #1414228 писал(а):

это куда более сложная теория

Да, надо изучить немного теории колец и деление многочленов с остатком.