Система уравнений из ЕГЭ

[Айват]

Подготавливался к ЕГЭ...и вот не смог решить С5. Честно сказать, даже нет никаких мыслей, как его можно решить.
$ \left\{ \begin{array}{l} $\sqrt{\log_2x*log_{1/3}y}\geqslant log_2x-log_3y$,\\ x=2y-1 \end{array} \right. $
Ну для начала немного я его преоброзовал:
$ \left\{ \begin{array}{l} $\sqrt{\ -log_2x*log_3y}\geqslant log_2x-log_3y$,\\ x=2y-1 \end{array} \right. $
Ввел новые переменные:
$log_2x=a$
$log_3y=b$
Вот что получилось:
$\sqrt{\ -a*b}\geqslant a-b
Нашел ОДЗ. Но не знаю, правильно ли я его нашел.
$x>0$
$y>0$
$ \left\{ \begin{array}{l} a>0,\\ b<0 \end{array} \right. $
$ \left\{ \begin{array}{l} a<0,\\ b>0 \end{array} \right. $
И все..дальше я не продвинулся. Сначала пытался избавиться от иррациональности. Но там сплошь какие-то условия, и ничего путного вроде нету.

[Taras]

Разберите варианты
$a>b$, $a=b$,$a<b$.

Добавлено спустя 1 минуту 56 секунд:

и смело подносите "вот что получилось" в квадрат.

[Айват]

Когда я писал, что я пытался избавиться от иррациональности...я как раз как и Вы предлагаете и поступал...Вот тут и подстерегали меня трудности.
Меня смущало и ОДЗ. Нужно ли его учитывать при возведении в квадрат
$a>b$
Получилось следующее:
$a^2-3ab+b^2\leqslant 0$
Как его решить методом интервалов я просто не знаю. Разложить его на множители известными мне спосбами не получается.

[Taras]

Цитата:

Получилось следующее:
$a^2-3ab+b^2\leqslant 0$

Вы не ошиблись?

Добавлено спустя 1 минуту 59 секунд:

ОДЗ на х, у потом проверите.

[Айват]

Вроде бы не ошибся. Извините, но пожалуй перестрахуюсь и напишу как я высчитал
$ab\geqslant (a-b)^2$
$ab\geqslant a^2-2ab+b^2$
$a^2-3ab+b^2\leqslant 0$
Это только для случая $a>b$

[Taras]

но там же $ \sqrt{\ -ab}$

[Айват]

Но разве при возведении любого числа в квадрат не получается число положительное? нас этому в школе учили

[Someone]

А число $ab$ разве положительное?

[Парджеттер]

Айват писал(а):

Но разве при возведении любого числа в квадрат не получается число положительное? нас этому в школе учили

А Вы не вступаете в противоречие с этим утверждением.

[Айват]

блин...я дурак. это получается еще и модуль нужен. на сегодня с меня пожалуй хватит. завтра разберусь с этим уравнением. Утро вечера мудренее

[Taras]

модуль там тоже не нужен

[Айват]

Вроде бы решил..с ответом сходится...Но хотелось бы услышать Ваш комментарий по поводу решения: ошибки, минусы, недочеты и т.д. и т.п.
ОДЗ:
$ \left\{ \begin{array}{l} b\leqslant 0 \\ a\geqslant o$ \end{array} \right. $
и
$ \left\{ \begin{array}{l} a\leqslant 0 \\ b\geqslant 0$ \end{array} \right. $
Первый случай. $a>b$ (Не забыл про ОДЗ)
$\sqrt{-a*b}\geqslant a-b$
$-ab\geqslant (a-b)^2$
$a^2-ab+b^2\leqslant 0$
А так как $-ab\geqslant 0$,то следовательно многочлен будет принимать только положительные значения. И равен он не будет нулю, так как $a>b$
Второй случай. $a=b$
$\sqrt{-a*b}\geqslant a-b$
Учитывая ОДЗ, то подкоренное выражение $-ab$ всегда меньше нуля. И это неравенство имеет решение только при $a=0$ и $b=0$
Третий случай. $a<b$
$\sqrt{-a*b}\geqslant a-b$
$-ab\geqslant (a-b)^2$
$a^2-ab+b^2\leqslant 0$
Как и в первом случае нету решения.
То есть я установил, что неравенство $\sqrt{-a*b}\geqslant a-b$ имеет решение при $a=0$ и $b=0$
Далее уже из логарифмического уравнения я нашел, что $x=1, y=1$ И система имеет единственное решение $(1;1)$
Ответ: $(1;1)$
P.S. Надеюсь кто-нибудь проверит правильность решения

[ShMaxG]

Айват писал(а):

Третий случай. $a<b$
$\sqrt{-a*b}\geqslant a-b$
$-ab\geqslant (a-b)^2$
$a^2-ab+b^2\leqslant 0$
Как и в первом случае нету решения.

не правильно здесь. из

\[ \sqrt 9 \geqslant - 5 \]

не следует

\[ 9 \geqslant 25 \]

P.S. где вы нашли такую задачу для С5? я бы дал ей не более С1... Обычно, С5 намного сложнее. Хотя я это по себе сужу.

[Taras]

Вариант $a<b$ не реализуется с других причин.

Добавлено спустя 3 минуты 20 секунд:

Вы недоучили схему схему решения $ \sqrt{f(x)}>g(x) $

[Айват]

Точно. Тогда получается
$a^2-ab+b^2\geqslant 0$
И это тогда выражение всегда больше нуля. То есть $a \in(-d;0], b\in[0;d)$, где d-бесконечность(не нашел символ). Там много еще писать, но кажется все правильно я сделал! Спасибо, что подсказали!
А эту задачу я взял вариантов ЕГЭ 2008 издательство "Экзамен".

Добавлено спустя 3 минуты 6 секунд:

Taras
Эту схему я вообще не учил..я тока иду в 11 класс...Занимаюсь сам, как время появляется.
А что значит не реализуется с других причин? Он у меня подходит...иль опять где-то я намудрил?