Аксиоматическое определение декартова произведения

[andreyka]

В учебнике Зорича:


Пусть $X=\{1, 2\}, Y=\{a, b\}$.
Тогда
$P(X) = \{ \varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1,2\} \}$,
$P(Y) = \{ \varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \} $,
$P(X) \cup P(Y) = \{ \varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \}$,
$P(P(X) \cup P(Y)) = \{ \varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{1\} \}, \{\{1\}, \{2\} \}, \{\{1\}, \{a\} \}, \{\{1\}, \{a, b\} \}, \cdots \} $.

Из чего состоит $p=(x,y)$, удовлетворяющий условию $x\in X, \ y\in Y$?

-- 01.09.2019, 00:00 --

Может, в определении надо так $P(P(X\cup Y))$?
Тогда
$X\cup Y = \{ \varnothing, 1, 2, a, b \}$
$P(X\cup Y) = \{ \varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, 1\}, \{1,2\}, \{1,a\}, \cdots \}$.
$P(P(X\cup Y)) = \{ \varnothing, \{\varnothing\}, \{ \{\varnothing\} \}, \{ \{1\}, \{1,a\} \}, \cdots \}$.
А теперь примем условное обозначение $(x,y) := \{ \{x\}, \{x, y\} \}$. Верно?

[arseniiv]

Не совсем ясно, что именно вы спрашиваете, но да, в тексте опечатка, потому что $\mathcal P(\mathcal P(X)\cup\mathcal P(Y))$ не принадлежат множества, в которых есть элементы вида $\{x,y\}, x\in X, y\in Y$ (а в упорядоченных парах такие элементы должны быть). Ну и ваш кандидат, конечно, подходит, это можно получить для общего случая по шагам: $\{x\},\{x,y\}\subset X\cup Y$, так что $\{x\},\{x,y\}\in\mathcal P(X\cup Y)$, так что $\{\{x\},\{x,y\}\}\subset\mathcal P(X\cup Y)$, так что $\{\{x\},\{x,y\}\}\in\mathcal P(\mathcal P(X\cup Y))$.

[vpb]

Ох, как мне повезло, что в свое время не пришло в голову читать всю "общематематическую" мутоту из первых двух глав Зорича... Какое, к черту, "аксиоматическое определение" декартова произведения, тем более всего лишь двух множеств ? Декартово, ака прямое, произведение множеств $A$ и $B$ --- это множество всех упорядоченных пар вида $(a,b)$, где $a$ --- элемент из $A$, а $b\in B$ --- элемент из $B$. И для контроля правильности понимания: если во множестве $A$ $m$ элементов, а во множестве $B$ --- $n$, то в их произведении --- $mn$ элементов. И еще пример: обычная плоскость --- это декартово произведение двух экземпляров прямой, то есть это ${\mathbb R}\times{\mathbb R}$. Усё.

[Connector]

Ну хорошо, а что если определить упорядоченную пару $(x, y)$ как $ \left\lbrace \left\lbrace \left\lbrace x, \right\rbrace\varnothing \right\rbrace, \left\lbrace y \right\rbrace \right\rbrace$ , и ввести множество $\mathcal P(\mathcal P(\mathcal P(X)) \cup \mathcal P(Y))$, подмножеством которого и будет декартово произведение?
Тоже вариант.

(Оффтоп)

Судя по скрину, у ТС одно из старых изданий; но в четвертом, «исправленном» изд. напечатано точно так же. Бездумно перенабирали...

[arseniiv]

Когда я лез в тему, название тоже навело на другие мысли. То, что тут, я бы назвал конструктивным определением в теории множеств, а аксиоматическим — ну например универсальное свойство: для $X, Y$ их декартово произведение $X\times Y$ — это множество такое, что существуют функции $\pi_1\colon X\times Y\to X$, $\pi_2\colon X\times Y\to Y$ такие, что если взять две функции $f_1\colon Z\to X$, $f_2\colon Z\to Y$, существует единственная функция $f\colon Z\to X\times Y$, для которой $\pi_i\circ f = f_i$; аналогично обобщается на любое семейство $X_i$. И отдельно постулировать «произведения существуют». Но когда делают из теории множеств основание, это существование традиционно доказывают через конструкцию Куратовского $\{\{x\},\{x,y\}\}$.

Connector
Таких кодирований можно ещё найти сколько угодно. Упомянутое просто одно из самых простых.

-- Вс сен 01, 2019 03:39:13 --

Честно говоря, я частично считаю конструктивное построение вещественных чисел — в курсах матанализа в самом их начале, когда все ещё недостаточно внимательны для хитрых деталей — аналогичным такому конструктивному определению упорядоченной пары / декартова произведения: да, будет честнее показать, что они существуют без нужды в постулировании, но привести более осмысленное определение, хоть и неконструктивное, можно было бы перед, а то и ограничиться им и сказать «при желании можете проверить там-то и там-то, что это собираемо из тех деталей, в существовании которых мы уверены» и заняться уже супремумами и пределами (в случае определения вещественных чисел) или функциями (в случае определения пар).

[beroal]

arseniiv в сообщении #1413095 писал(а):

То, что тут, я бы назвал конструктивным определением в теории множеств, а аксиоматическим — ну например универсальное свойство: для $X, Y$ их декартово произведение $X\times Y$ — это множество такое, что существуют функции $\pi_1\colon X\times Y\to X$, $\pi_2\colon X\times Y\to Y$ такие, что если взять две функции $f_1\colon Z\to X$, $f_2\colon Z\to Y$, существует единственная функция $f\colon Z\to X\times Y$, для которой $\pi_i\circ f = f_i$

Есть аксиоматическое определение уровнем пониже: если $(a, b) = (a', b')$, то $a=a'$ и $b=b'$.

arseniiv в сообщении #1413095 писал(а):

Честно говоря, я частично считаю конструктивное построение вещественных чисел — в курсах матанализа в самом их начале, когда все ещё недостаточно внимательны для хитрых деталей — аналогичным такому конструктивному определению упорядоченной пары / декартова произведения: да, будет честнее показать, что они существуют без нужды в постулировании, но привести более осмысленное определение, хоть и неконструктивное, можно было бы перед, а то и ограничиться им и сказать «при желании можете проверить там-то и там-то, что это собираемо из тех деталей, в существовании которых мы уверены» и заняться уже супремумами и пределами (в случае определения вещественных чисел) или функциями (в случае определения пар).

С упорядоченной парой немного легче разобраться, чем с конструктивным определением вещественных чисел.

andreyka в сообщении #1413075 писал(а):

В учебнике Зорича:

Этот материал, строго говоря, относится к теории множеств. Может, вам стоит взять учебник по ней?

[arseniiv]

beroal в сообщении #1413201 писал(а):

Есть аксиоматическое определение уровнем пониже: если $(a, b) = (a', b')$, то $a=a'$ и $b=b'$.

Да, наверно это менее пугающе будет здесь.