Может ли осесимметричные токи создать "спиральное" B (H)?

[EUgeneUS]

Вопрос навеян вот этой темой

Есть векторное поле токов $\vec{j}$.
Оно осесимметрично (в смысле поворотов относительно какой-то оси).
А значит в цилиндрических координатах, построенных на этой оси: $\frac{d j_r}{d \varphi} = \frac{d j_{\varphi}}{d \varphi} = \frac{d j_z}{d \varphi}= 0$, где $\varphi$ - угол поворота относительно оси симметрии. (1)

Это поле токов создаёт магнитное поле $\vec{H}$ (в СИ):
$\nabla \times \vec{H} = \vec{j}$
$\nabla \cdot \vec{H} = 0$ (для простоты считаем везде $\mu = 1$)

Вопрос: может ли (в цилиндрических координатах) $H_{\varphi} \ne 0$?

[mihiv]

Например, поле прямого провода.

[EUgeneUS]

mihiv
Ага. Считается. Держал в голове картинку из темы, откуда возник вопрос и тривиального случая не увидел
Тогда уточнения:
а) если $j_z = 0$?
б) если $j_z = 0$ и $j_r=0$?

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1412950 писал(а):

б) если $j_z = 0$ и $j_r=0$?

Если источников тока нет, то из $\operatorname{div}\mathbf{j}=0$ следует $j_\varphi=\operatorname{const},$ значит задача аксиально симметрична, и можно складывать поля кольцевых токов. Для кольцевого тока $B_\varphi=0,$ и сколько нули не складывай, вроде бы, ничего кроме нуля не получишь.

-- 31.08.2019, 02:21 --

EUgeneUS в сообщении #1412950 писал(а):

а) если $j_z = 0$?

А в этом случае ответ зависит от выбора начала координат. Рассмотрим плоский контур с током (треугольник для простоты). Выбором точки начала координат из любого вектора, не параллельного оси $z,$ перпендикулярной плоскости треугольника, можно получить компоненту вдоль $e_\varphi$ соответствующим сдвигом этого треугольника.

[EUgeneUS]

amon
mihiv
Спасибо!

Для случая

EUgeneUS в сообщении #1412950 писал(а):

а) если $j_z = 0$?

Опять нашелся довольно таки тривиальный контрпример: ток растекается от центра к краям диска.

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1412950 писал(а):

если $j_z = 0$?

Тогда из осевой симметрии и сохранения заряда следует, что $\vec j = 0$. Рассматривается, ведь, стационарная задача?

[BalyunovVV]

А если у нас будет тороидальная катушка (создает вполне себе осесимметричнный ток особенно если намотать в несколько рядов по часовой и против оси тора)?
Магнитное поле будет точно "спиральное".

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1413125 писал(а):

Тогда из осевой симметрии и сохранения заряда следует, что $\vec j = 0$. Рассматривается, ведь, стационарная задача?

Конечно, нет. (Да, рассматривается стационарная задача)

Случай: ($j_z = 0$, $j_r=0$, осевая симметрия) является подмножеством случая ($j_z = 0$, осевая симметрия), а для него возможны примеры (и они приведены выше), т.ч. $\vec j \ne 0$

А вот $j_r=0$ в таких условиях и отсутствии источников тока, следует с неизбежностью.
Поэтому пример с диском и растекающимся током отсюда требует большого количества оговорок.

BalyunovVV в сообщении #1413166 писал(а):

А если у нас будет тороидальная катушка (создает вполне себе осесимметричнный ток особенно если намотать в несколько рядов по часовой и против оси тора)?
Магнитное поле будет точно "спиральное".

Если под "спиральным" понимается, как и выше, $H_{\varphi} \ne 0$, то да. Но более простой и наглядный контрпример был приведен в первом же ответе уважаемым mihiv.

[realeugene]

Собственно, на исходный вопрос ТС тривиально отвечают уравнения Максвелла в интегральной форме. Чтобы циркуляция магнитого поля по какому-либо контуру была ненулевой, необходимо и достаточно интегральное протекание тока через любую поверхность, натянутую на этот контур.