2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Разложение сигнала на экспоненты
Сообщение28.08.2008, 15:05 


13/10/05
24
Задача такая:
есть измеренный сигнал - кривая релаксации - которая модельно может быть представлена в виде суммы нескольких экспонент
$$
f(t_i)=\sum A_j\exp(-T_jt_i)
$$
необходимо определить параметры $A_j$ и $T_j$.
Сложностей несколько:
1. Колличество экспонент не известно.
2. Исходный сигнал зашумлен, и встает вопрос устойчивости.
Люди добрые, помогите советом, алгоритмом, идеей.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.08.2008, 15:09 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12072
ориентировочное количество этих экспонент известно? - можно провести какую-то оценку сверху? - можно попробовать аппроксимацию в MatLAB сделать

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.08.2008, 15:23 


13/10/05
24
В исходном сигнале $f(t_i)$ порядка 1000 точек.
Экспонент подразумевается порядка 100 (это ограничение сверху их может быть и одна, две ...).
>> можно попробовать аппроксимацию в MatLAB сделать
Если не трудно, можно пример функции.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.08.2008, 15:32 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12072
katamaran в сообщении #141276 писал(а):
Экспонент подразумевается порядка 100

О-о, так будет сложновато :(

А функции - там есть fitting toolbox, где можно задать вид аппроксимирующей функции

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2008, 10:52 


13/10/05
24
Спасибо. А если их будет на сто а десять, что изменится?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2008, 11:48 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12072
А если их будет десять, то можно задать вид искомой функции, как $Ae^{-a t}+Be^{-bt}+Ce^{-ct}+\ldots$ и матлабом аппроскимировать, а он выдаст график, аппроксимирующей функции, искомые $A, a, B, b, C, c\ldot$ и некоторые параметры, характерезующие, насколько хорошо удалась аппроксимация

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.09.2008, 10:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/10/05
478
Казань
Да, что-то экспонент многовато... Мне даже кажется, что таким числом экспонент можно аппроксиммировать произвольную функцию.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.09.2008, 11:52 


13/10/05
24
Ну апроксимировать можно любую любым количеством)
Главная проблема, что мне сама апроксимация не очень важна, мне важней устойчиво найти параметры этих экспонент. В принципе, это скорее решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода с ядром $\exp(-Tt)$.
$$
f(t)=\int_{T_1}^{T_2}A(t)\exp(-Tt)\,dT.
$$
Только решение $A(t)$ я ищу в виде наборов дискретов.
P.S. Извиняюсь что без формул TEX.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.09.2008, 16:23 


30/10/06
33
Sanyok писал(а):
Да, что-то экспонент многовато... Мне даже кажется, что таким числом экспонент можно аппроксиммировать произвольную функцию.


Действительно. Слишком велика корреляция экспонент между собой, чтобы такое решение было достаточно устойчивым.

katamaran писал(а):
В принципе, это скорее решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода с ядром exp(-T*t).
f(t)=int(A(t)*exp(-T*t)dT) от Т1 до Т2.
Только решение A(t) я ищу в виде наборов дискретов.


Очень интересно! А как вы это уравнение решаете численным методом?

Вопрос ко всем:
Какое решение можно посоветовать при разложении на сумму гауссиан (форма нормального распределения), которые можно рассматривать, как экспоненты с квадратичным показателем? Здесь не хотелось бы решать в общем виде, т.к. исходное приближение зачастую бывает очевидным: исходная функция, подвергаемая разложению, тут имеет выраженные "пики", каждый из которых соответствует вкладу отдельной экспоненты. Проблема собственно возникает только при их перекрывании, т.к. сами гауссианы сходят на нет на расстоянии 2-х сигм от центра.

P.S. Говорят, что для решения таких задач рекомендуется метод предварительного FFT-разложения. Кто-нибудь слышал подобное?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.09.2008, 18:43 


13/10/05
24
>>Очень интересно! А как вы это уравнение решаете численным методом?
Существуют классические методы - представляем интеграл в виде сумм и получаем систему линейных уравнений. А дальше методов много, начиная от простого МНК и до, например, регуляризация Тихонова.
>>

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.10.2008, 22:19 


17/10/08

1313
Предположим, что измеряемый сигнал релаксации представляет собой сумму экспонент плюс слагаемое в виде холмовидной (унимодальной) функции. Так как экспонента - строго возрастающая функция, для «аппроксимации» холма потребуется разности экспоненциальных слагаемых. Чем дальше холм от времени t=0 и чем он выше, тем большие (по модулю) значения коэффициентов Aj потребуются. Нетрудно убедиться, что коэффициенты Aj экспоненциально зависят от положения холма и от его высоты. Поэтому «устойчивое» получение коэффициентов Aj невозможно, так как они чрезвычайно чувствительны к форме измеряемого сигнала.
Если ограничиться Aj>=0, то задача становится решаемой. Подбирать функцию аппроксимации можно с помощью суммы квадратичного отклонения; для получения числа слагаемых можно ввести порог улучшения точности на одно слагаемое. Результатом такой подхода станет задача минимизации частично-целочисленной нелинейной функции.
Если будут выложены данные и уточнены условия задач, то можно посоветовать что-нибудь более конкретное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение сигнала на экспоненты
Сообщение27.10.2011, 20:51 


25/08/11

1074
О разложении в сумму Гауссиан есть целая наука.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение сигнала на экспоненты
Сообщение27.10.2011, 21:18 


30/10/06
33
sergei1961 в сообщении #496596 писал(а):
О разложении в сумму Гауссиан есть целая наука.


Может быть подскажите, как эта наука называется? Где искать от нее концы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение сигнала на экспоненты
Сообщение28.10.2011, 01:22 
Заслуженный участник


15/05/05
3445
USA
katamaran в сообщении #141271 писал(а):
есть измеренный сигнал - кривая релаксации - которая модельно может быть представлена в виде суммы нескольких экспонент
f(ti)=summa(Aj*exp(-Tj*ti))
необходимо определить параметры Aj и Tj.
Сложностей несколько:
1. Колличество экспонент не известно.
2. Исходный сигнал зашумлен, и встает вопрос устойчивости.
Можно попробовать прием, используемый в методе регуляризации: рассмотреть серию задач аппроксимации с 1, 2, 3, и т.д. экспонентами. Для каждой задачи определять не только параметры экспонент, но и погрешность аппроксимации.
Гипотеза: при увеличении числа экспонент погрешность сначала будет убывать, но с какого-то момента станет расти (ошибки вычислений и т.п.). Первому локальному минимуму погрешности и будет соответствовать оптимальное число экспонент.
Если погрешность будет монотонно убывать, то можно остановиться при достижении требуемой точности или максимально допустимого числа экспонент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение сигнала на экспоненты
Сообщение28.10.2011, 10:31 


13/10/05
24
Гипотеза: при увеличении числа экспонент погрешность сначала будет убывать, но с какого-то момента станет расти (ошибки вычислений и т.п.). Первому локальному минимуму погрешности и будет соответствовать оптимальное число экспонент.
Если погрешность будет монотонно убывать, то можно остановиться при достижении требуемой точности или максимально допустимого числа экспонент.[/quote]
Спасибо за ответ, однако проблема в том как определить параметры экспонент.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Karan, Toucan, PAV, maxal, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group