Разложение сигнала на экспоненты

[katamaran]

Задача такая:
есть измеренный сигнал - кривая релаксации - которая модельно может быть представлена в виде суммы нескольких экспонент

$$ f(t_i)=\sum A_j\exp(-T_jt_i) $$

необходимо определить параметры $A_j$ и $T_j$.
Сложностей несколько:
1. Колличество экспонент не известно.
2. Исходный сигнал зашумлен, и встает вопрос устойчивости.
Люди добрые, помогите советом, алгоритмом, идеей.

[photon]

ориентировочное количество этих экспонент известно? - можно провести какую-то оценку сверху? - можно попробовать аппроксимацию в MatLAB сделать

[katamaran]

В исходном сигнале $f(t_i)$ порядка 1000 точек.
Экспонент подразумевается порядка 100 (это ограничение сверху их может быть и одна, две ...).
>> можно попробовать аппроксимацию в MatLAB сделать
Если не трудно, можно пример функции.

[photon]

katamaran в сообщении #141276 писал(а):

Экспонент подразумевается порядка 100

О-о, так будет сложновато

А функции - там есть fitting toolbox, где можно задать вид аппроксимирующей функции

[katamaran]

Спасибо. А если их будет на сто а десять, что изменится?

[photon]

А если их будет десять, то можно задать вид искомой функции, как $Ae^{-a t}+Be^{-bt}+Ce^{-ct}+\ldots$ и матлабом аппроскимировать, а он выдаст график, аппроксимирующей функции, искомые $A, a, B, b, C, c\ldot$ и некоторые параметры, характерезующие, насколько хорошо удалась аппроксимация

[Sanyok]

Да, что-то экспонент многовато... Мне даже кажется, что таким числом экспонент можно аппроксиммировать произвольную функцию.

[katamaran]

Ну апроксимировать можно любую любым количеством)
Главная проблема, что мне сама апроксимация не очень важна, мне важней устойчиво найти параметры этих экспонент. В принципе, это скорее решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода с ядром $\exp(-Tt)$.

$$ f(t)=\int_{T_1}^{T_2}A(t)\exp(-Tt)\,dT. $$

Только решение $A(t)$ я ищу в виде наборов дискретов.
P.S. Извиняюсь что без формул TEX.

[Oam]

Sanyok писал(а):

Да, что-то экспонент многовато... Мне даже кажется, что таким числом экспонент можно аппроксиммировать произвольную функцию.

Действительно. Слишком велика корреляция экспонент между собой, чтобы такое решение было достаточно устойчивым.

katamaran писал(а):

В принципе, это скорее решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода с ядром exp(-T*t).
f(t)=int(A(t)*exp(-T*t)dT) от Т1 до Т2.
Только решение A(t) я ищу в виде наборов дискретов.

Очень интересно! А как вы это уравнение решаете численным методом?

Вопрос ко всем:
Какое решение можно посоветовать при разложении на сумму гауссиан (форма нормального распределения), которые можно рассматривать, как экспоненты с квадратичным показателем? Здесь не хотелось бы решать в общем виде, т.к. исходное приближение зачастую бывает очевидным: исходная функция, подвергаемая разложению, тут имеет выраженные "пики", каждый из которых соответствует вкладу отдельной экспоненты. Проблема собственно возникает только при их перекрывании, т.к. сами гауссианы сходят на нет на расстоянии 2-х сигм от центра.

P.S. Говорят, что для решения таких задач рекомендуется метод предварительного FFT-разложения. Кто-нибудь слышал подобное?

[katamaran]

>>Очень интересно! А как вы это уравнение решаете численным методом?
Существуют классические методы - представляем интеграл в виде сумм и получаем систему линейных уравнений. А дальше методов много, начиная от простого МНК и до, например, регуляризация Тихонова.
>>

[mserg]

Предположим, что измеряемый сигнал релаксации представляет собой сумму экспонент плюс слагаемое в виде холмовидной (унимодальной) функции. Так как экспонента - строго возрастающая функция, для «аппроксимации» холма потребуется разности экспоненциальных слагаемых. Чем дальше холм от времени t=0 и чем он выше, тем большие (по модулю) значения коэффициентов Aj потребуются. Нетрудно убедиться, что коэффициенты Aj экспоненциально зависят от положения холма и от его высоты. Поэтому «устойчивое» получение коэффициентов Aj невозможно, так как они чрезвычайно чувствительны к форме измеряемого сигнала.
Если ограничиться Aj>=0, то задача становится решаемой. Подбирать функцию аппроксимации можно с помощью суммы квадратичного отклонения; для получения числа слагаемых можно ввести порог улучшения точности на одно слагаемое. Результатом такой подхода станет задача минимизации частично-целочисленной нелинейной функции.
Если будут выложены данные и уточнены условия задач, то можно посоветовать что-нибудь более конкретное.

[sergei1961]

О разложении в сумму Гауссиан есть целая наука.

[Oam]

sergei1961 в сообщении #496596 писал(а):

О разложении в сумму Гауссиан есть целая наука.

Может быть подскажите, как эта наука называется? Где искать от нее концы?

[Yuri Gendelman]

katamaran в сообщении #141271 писал(а):

есть измеренный сигнал - кривая релаксации - которая модельно может быть представлена в виде суммы нескольких экспонент
f(ti)=summa(Aj*exp(-Tj*ti))
необходимо определить параметры Aj и Tj.
Сложностей несколько:
1. Колличество экспонент не известно.
2. Исходный сигнал зашумлен, и встает вопрос устойчивости.

Можно попробовать прием, используемый в методе регуляризации: рассмотреть серию задач аппроксимации с 1, 2, 3, и т.д. экспонентами. Для каждой задачи определять не только параметры экспонент, но и погрешность аппроксимации.
Гипотеза: при увеличении числа экспонент погрешность сначала будет убывать, но с какого-то момента станет расти (ошибки вычислений и т.п.). Первому локальному минимуму погрешности и будет соответствовать оптимальное число экспонент.
Если погрешность будет монотонно убывать, то можно остановиться при достижении требуемой точности или максимально допустимого числа экспонент.

[katamaran]

Гипотеза: при увеличении числа экспонент погрешность сначала будет убывать, но с какого-то момента станет расти (ошибки вычислений и т.п.). Первому локальному минимуму погрешности и будет соответствовать оптимальное число экспонент.
Если погрешность будет монотонно убывать, то можно остановиться при достижении требуемой точности или максимально допустимого числа экспонент.[/quote]
Спасибо за ответ, однако проблема в том как определить параметры экспонент.