Бегущая волна в акустике

[eugrita]

Говоря о звуковых (для определенности 1-мерных) волнах имеют ввиду колебания 4 параметров
$y(x.t)$- смещение частиц, $v(x,t)=dy/dt$ – колебательная скорость частиц $p(x,t)$ –отклонение давления от равновесного и $\rho(x.t)$ -отклонения плотности от равновесной
При этом почему-то во многих материалах анализ начинается сразу с введения бегущей волны $y=A \cos(\omega t-kx) $ считая волну почему-то гармонической.
Естественно из допущения гармонической волны легко получить связь амплитуд скорости и смещения, $A_v=A \cdot \omega $
Вводя понятие сжимаемости среды $\varkappa=-\frac{1}{\Delta p} \cdot \frac{\Delta v}{v} $ Получают для газов $\Delta p=-c^2 \rho \frac{\Delta v}{v} $
Далее связывают изменение объема с колебательной скоростью $\frac{\Delta v}{v}=\frac{dy}{dx}$ и получают бегущие волны других параметров
Для давления $p=-c \rho A \omega \sin(\omega t-kx)$
И получают качественные эффекты как то опережение по фазе на 90 звукового давления
В то же время , решением волнового уравнения являются и волны произвольного профиля.например, треугольного или пилообразного которые как и всякие периодические функции раскладываются в сумму гармоник кратных основной.
Но только тогда формулы и свойства гармонической бегущей волны отпадут.
Можно ли в общем случае пользоваться более универсальными формулами? $p(x,t)=-c^2 \rho \frac{\partial y}{\partial x}$
Как записать связь колебаний плотности с смещениями или колебательной скоростью?
Если здесь нет ошибки то можно видимо расширить тип вопросов и задач .
Например, по заданному профилю смещений волны построить профиль изменений звукового давления или плотности среды или рассматривать сумму прямой и отраженной волн сложного профиля

[пианист]

Бегущие волны используют, т.к. они а) легко исследуются, в т.ч. простыми аналитическими средствами (в особенности для одномерных задач), б) описывают реально наблюдаемые явления.
К гармоникам переходят, т.к. это позволяет привязаться к механическим колебательным процессам, имеющим ясный смысл, плюс полнота гармоник, позволяющая разложить по ним что угодно.
Так то нет никаких препятствий к рассмотрению других решений, коих на самом деле подавляющее большинство.

[eugrita]

Если берем бегущую гармоническую волну смещения $y(x,t)=A \cos(\omega t-kx)$
Тогда $v(x,t)=-A\omega \sin(\omega t-kx) $ (1)
$p(x,t)=-c^2 \rho y'=c^2 \rho v(x,t)= c^2 \rho A \omega \sin(\omega t-kx) $ (2)
$\rho(x,t)=\frac{1}{c^2 \rho _0}p(x,t)=A \omega \sin(\omega t-kx) $ (3)
Или формула (3) наврана?
Но качественный смысл: волна давления и плотности отстает по фазе на 90 от волны смещения и сдвинута на 180 относительно волны колебательной скорости?

[пианист]

Сори, в акустике я знаю чуть меньше чем ничего.
Единственно, емнис вроде как $p$ и $\rho$ д.б. связаны соотношением
$\rho(v_t + vv_x) = p_x$
Не так?

[Red_Herring]

пианист в сообщении #1412441 писал(а):

Не так?

Нет, это одно из уравнений, к тому же с ошибочным знаком и верное с оговорками.Соотношение эе это уравнение состояния $p=p(\rho, T)$ где температуру $T$ в акустике считют постоянной

[Pavia]

eugrita
Я бы использовал бы следующую теорию
http://old.pskgu.ru/ebooks/l06/l6_gl08_64.pdf
https://kpfu.ru/docs/F1501508011/wp8.pdf

eugrita в сообщении #1412407 писал(а):

$A_v=A \cdot \omega $

Откуда у вас тут взялась омега?

eugrita в сообщении #1412407 писал(а):

Вводя понятие сжимаемости среды $\varkappa=-\frac{1}{\Delta p} \cdot \frac{\Delta v}{v} $ Получают для газов $\Delta p=-c^2 \rho \frac{\Delta v}{v} $
Далее связывают изменение объема с колебательной скоростью $\frac{\Delta v}{v}=\frac{dy}{dx}$ и получают бегущие волны других параметров

Непонятно. В соответствии с теорией у вас плотность давление разделены на независимые переменные ($p_0$ и $p'$). А Вы при сжатие устанавливаете какую зависимость?

eugrita в сообщении #1412407 писал(а):

Как записать связь колебаний плотности с смещениями или колебательной скоростью?

В рамках данных допущений??? Тогда сжатие действует только на $p_0$ или только на $p'$. Со скоростью меньше частоты колебаний. Изменяем давление изменяется среда в которой протекают колебания. Следовательно меняется коэффициент $c$.
А в противном случае это вам нужно вязкую жидкость и нелинейные среды изучать ЛЛ-8. Там несколько моделей есть.
Вообщем оговорок тут хватает.

eugrita в сообщении #1412429 писал(а):

Но качественный смысл: волна давления и плотности отстает по фазе на 90 от волны смещения и сдвинута на 180 относительно волны колебательной скорости?

В учебнике не так.

[DimaM]

eugrita в сообщении #1412407 писал(а):

При этом почему-то во многих материалах анализ начинается сразу с введения бегущей волны $y=A \cos(\omega t-kx) $ считая волну почему-то гармонической.

Гармоническую волну удобно рассматривать, потому что для нее дифференциальные уравнения акустики превращаются в алгебраические. А поскольку уравнения линейные, то сумма решений будет тоже решением.
Соответственно, легко находим эволюцию для всех гармоник и представляем решение для любых начальных условий в виде интеграла Фурье. В акустике это совсем просто, поскольку не учитываем ни дисперсию, ни нелинейность, и импульс просто перемещается, сохраняя форму.

[eugrita]

Я хочу обратить внимание на аналогию 1-мерных звуковых колебаний и колебаниями струны
описываемых 1-мерным волновым уравнением (про дисперсию пока молчу)
А значит к негармоническим волнам применимы все методы колебаний струны -
метод разделения переменных Фурье, метод характеристик понятие волн смещения и волн импульса. Но только колеблющихся параметров в акустике больше - если в струне смещение
$y(x,t)$ и скорость $v(x,t)=y'(x,t)$ то в акустике еще
$p'(x,t)$ и $\rho'(x,t)$ (штрих не знак производной а как у Ландау- отклонения от равновесных знач)
Если из всего этого выделить элементарно-наглядные свойства понятные школьникам
то запросто можно давать примеры и задачи на
1) метод характеристик и графическое изображение бегущих волн
2)связь и нахождение рстальных профилей $y(x,t)$ $v(x,t)$
$p'(x,t)$ $\rho'(x,t)$ по одному из заданных.
Они даже в случае несинусоидальных (треугольных и проч волн) требуют графического дифференцирования изучаемого школьниками в 10 11 кл и даже задачи ЕГЭ
Мне самому не очень понятно все же практический способ получения несинусоидальных 1-мерных волн, и вообще понятие волны импульса применительно к звуку. Но тем не менее муз струнные инструменты как раз претворяют достаточно сложные колебания струн в аналогичные колебания столба воздуха и корпуса и даже резонансы. Конечно в муз инструментах 1-мерными волнами не отделаться - там что-то посложнее
Есть ещё 3-я аналогия : струна -1мерн звук волна- колебания тока/напряжения в линиях. Но грузить школьников еще колебаниями в ЛЭП это уж круто. Студентам это дают в конце курса ТОЭ

[Pavia]

eugrita

eugrita в сообщении #1412848 писал(а):

Я хочу обратить внимание на аналогию 1-мерных звуковых колебаний и колебаниями струны
описываемых 1-мерным волновым уравнением (про дисперсию пока молчу)
А значит к негармоническим волнам применимы все методы колебаний струны -

Не значит, это надо доказывать. Во вторых в акустики волны продольные в струне поперечные. Уже нестыковочка.

eugrita в сообщении #1412848 писал(а):

Мне самому не очень понятно все же практический способ получения несинусоидальных 1-мерных волн

Этап 1. Берём учебник "Уравнения математической физики." Берём "граничные условия" 2 рода когда у нас задан профиль. Для струны это задача на щепок. Отводим в средней точке струну, что-бы она образовала треугольник.
Решаем уравнение находим зависимость $v(x,t)$ в точках $x=0$ и $x=L$.
Этап 2.
А что-бы получить практически треугольники нужно поставить 2-генератора с двух концов которые будут двигать струну со скоростью полученный на предыдущем этапе.
Этап 3. Проделать этап 1 и 2 с профилем из нескольких треугольников.

eugrita в сообщении #1412407 писал(а):

В то же время , решением волнового уравнения являются и волны произвольного профиля.например, треугольного или пилообразного которые как и всякие периодические функции раскладываются в сумму гармоник кратных основной.

Да, но в природе у вас смесь волн. Что-бы их увидеть вам придётся сделать прибор который будет раскладывать сигнал на их сумму. А для генерации понадобится прибор который их будет складывать. Тут нужно хотя бы 64 штуки пилообразных волн, иначе не так красиво будет.

eugrita в сообщении #1412848 писал(а):

Они даже в случае несинусоидальных (треугольных и проч волн) требуют графического дифференцирования изучаемого школьниками в 10 11 кл и даже задачи ЕГЭ

Постоянно смещаемый разрыв, интеграл которого школьники умеют брать только по частям. Удачи в пытках школьников.

[eugrita]

1)С точки зрения математики как поперечные колебания струны так и продольные колебания воздуха описываются одинаковым волновым уравнением. Формула Даламбера выведена на чистой математике. Почему ее геометрические аналоги неприменимы хотя бы в наиболее простом виде акустических колебаний несмотря на продольность волн? Если ошибаюсь -поясните- мне и другим интересно
2)Когда я говорил о способе получения несинусоидальных волн -имел ввиду акустические.
Как здесь смоделировать аналоги краевых условий щипка и отклонения струны?
Точно не знаю, но может так?
-аналог щипка- движение поршня, например равномерное, потом внезапная остановка. Граничные условия на звук на этом конце совпадут. Правда видимо должен при таком сжатии быть какой-то квазистационарный режим.
-аналог отклонения струны перемычка удерживаемая принудительно разделяет 2 камеры-цилиндра с разными давлениями. Потом внезапно отпускают
3)Отличие акустики от струны на уровне самых простых волн еще в том что в акустике могут быть сферические волны. Видимо наиболее простой но интересный случай отражение волн точечного источника в центре сферы от стенок сферы. Хотя в жизни конечно сферических помещений почти не бывает.
4)Интересна модель возбуждения колебаний в муз инструменте. Ведь звук не от струны а от колебаний деки возбуждаемых в местах крепления. Хоть от механических, хоть от преобразованных звукоснимателем в электрические и обратно

[arseniiv]

eugrita в сообщении #1412976 писал(а):

Ведь звук не от струны а от колебаний деки возбуждаемых в местах крепления.

Это вы зря. И от струны. Можно подавить излучение от интересующих мест, плотно прижав какую-нибудь мягкую толстую ткань; так можно убедиться, что и сама струна достаточно хорошо слышна.

[Pavia]

eugrita в сообщении #1412976 писал(а):

1)С точки зрения математики как поперечные колебания струны так и продольные колебания воздуха описываются одинаковым волновым уравнением. Формула Даламбера выведена на чистой математике. Почему ее геометрические аналоги неприменимы хотя бы в наиболее простом виде акустических колебаний несмотря на продольность волн? Если ошибаюсь -поясните- мне и другим интересно

Математика там одна. А вот физика всё же разная.

Колебания — повторяющийся во времени процесс изменения состояний системы около точки равновесия.
Так вот для струны нет ограничений она может колебаться вверх и вниз в больших приделах.
Когда как для воздуха есть ограничения. Мы разбиваем всё пространство на промежутки и колебания воздуха не должны превышать эти промежутки.
Поэтому взять поршень и начать делать генерировать звук треугольной формы у вас не получиться так как вы выйдете за рамки данного допущения.

Что-бы их сделать вам нужно на каждом промежутке поставить по генератору. Типа вот так.


Второй вариант поставить по 2 динамика с двух сторон. Тогда в определённые моменты у вас будут треугольники.