2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нахождение значения предела
Сообщение24.08.2019, 19:35 


04/08/19
3
Добрый день! У Зорича приводятся два доказательства того, что $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1$ и $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]a=1$ при любом $a>0$. Эти факты в изложении Зорича являются следствиями того, что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{q^n}=0$ при $q>1$:
Следствие 1. $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1$.
При фиксированном $\varepsilon>0$ по доказанному найдётся $N\in\mathbb{N}$ такое, что при $n>N$ будем иметь $1\leqslant n<(1+\varepsilon)^n$. Тогда при $n>N$ получим $1\leqslant \sqrt[n]n<1+\varepsilon$ и, значит, действительно $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1$.
Следствие 2. $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]a=1$.
Пусть $a\leqslant 1$. Для любого $\varepsilon>0$ найдем $N\in\mathbb{N}$ так, что при $n>N \ 1\leqslant a<(1+\varepsilon)^n$, и тогда при $n>N$ получаем $1\leqslant \sqrt[n]a<1+\varepsilon$, т.е. $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]a=1$.
Если $0<a<1$, то $1<\frac{1}{a}$ и $$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]a=\lim\limits_{n\to\infty}\cfrac{1}{
                                                       \sqrt[n]{\cfrac{1}{a}\mathstrut}}=\cfrac{1}{
                                                                                                          \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\cfrac{1}{a}\mathstrut}}=1.$$
В этих доказательствах мне неясно, каким образом находится n, удовлетворяющее данным неравенствам, и почему имеют силу эти неравенства.
Буду искренне благодарен за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение значения предела
Сообщение24.08.2019, 20:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
MorozovBoris в сообщении #1411889 писал(а):
мне неясно, каким образом находится n, удовлетворяющее данным неравенствам,

Никак не находятся -- этого просто не нужно. Достаточно того, что известно об их существовании.

В первом следствии из того самого исходного предела следует, что $n<(1+\varepsilon)^n$, начиная с некоторого номера. Просто по определению предела -- поскольку отношение левой части неравенства к правой стремится к нулю. И абсолютно не важно, чему тот самый "некоторый номер" равен. Мы знаем, что он существует -- этого и достаточно.

Во втором следствии аналогично, но грубее. Из исходного неравенства следует, что геометрическая прогрессия стремится к бесконечности и, следовательно, рано или поздно больше любого $a\geqslant1$. Насколько рано или насколько поздно -- опять же не имеет значения.

П.С. Зорич, однако же, здесь маленько нечестен. Подобные трюки (основанные на $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{q^n}=0$) принято проделывать до того, как становится известным, что такое корень энной степени и с какой стати он вообще существует.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group