Релятивистский квантовый принцип суперпозиции

[arctg]

Хорошо известен принцип суперпозиции нерелятивистской квантовой механики,
к примеру для 2-х состояний:
$\Psi=a_1(t)\psi_1(r)+a_2(t)\psi_2(r)$.
Принцип суперпозиции должен выполняться и в релятивистском случае.
Но если мы хотим получить уравнение для матрицы плотности
и домножим уравнение слева на $\Psi^{*}$ и проинтегрируем по
пространственным координатам, то это будет релятивистски не инвариантно.
В общем не понятно как действовать в релятивистском случае,
перерыл много литературы, но понятного мне примера не нашел.

[warlock66613]

arctg, непонятно, как именно приведённая формула связана с принципом суперпозиции. Так что может вы его явно сформулируете, чтобы стало понятнее, что именно у вас не переносится на релятивистский случай?

[arctg]

warlock66613 в сообщении #1411762 писал(а):

arctg, непонятно, как именно приведённая формула связана с принципом суперпозиции. Так что может вы его явно сформулируете, чтобы стало понятнее, что именно у вас не переносится на релятивистский случай?

У меня все стандартно. Вот пример из википедии
"Если функции $\Psi _{1}$ и $\Psi _{2}$ являются допустимыми волновыми функциями, описывающими состояние квантовой системы, то их линейная суперпозиция, $\Psi _{3}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}$, также описывает какое-то состояние данной системы."
Стоит только подчеркнуть, что рассматривается нестационарный случай.

[warlock66613]

arctg, для нестационарного случая в картине Шрёдингера будет так: если $\psi_1(x, t)$ и $\psi_2(x, t)$ являются допустимыми волновыми функциями, описывающими состояние квантовой системы, то их линейная суперпозиция $c_1 \psi_1(x, t) + c_2 \psi_2(x, t)$ также описывает какое-то состояние данной системы. Обратите внимание, где тут буквы $t$: константы $c_1$ и $c_2$ от времени не зависят.

Таким образом, в релятивистском случае принцип суперпозиции новых трудностей не добавляет: чтобы в результате его применения получить зависящую от времени волновую функцию, вы уже должны иметь две таких функции (ну или хотя бы одну), и сопуствующие трудности. В принципе ничего страшного в этом нет, просто релитивистская инвариантность при таком подходе оказывается неявной, скрытой.

[arctg]

П.В. Короленко
"Взаимодействие излучения с веществом"
дано такое определение суперпозиции (стр 7)

"Для нахождения вероятности квантового перехода, необходимо
воспользоваться принципом суперпозиции состояния. Согласно этому
принципу, волновая функция $\Psi_n$ возмущенного состояния может быть
представлена в виде суммы невозмущенных волновых функций $\Psi_k(q,t)$ :

$\Psi_n(q,t)=\sum\limits_k a_{nk}(t)\Psi_k(q,t)$

коэффициент a зависит от t....

[warlock66613]

arctg, ну неудачно выразился П. В. Короленко. Принцип суперпозиции, как его обычно понимают, тут не при чём. Речь идёт о том, что в любой момент времени мгновенные невозмущённые волновые функции образуют базис, по которому можно разложить мгновенное значение возмущённой волновой функции. В отличие от принципа суперпозиции, коэффициенты $a$ здесь не произвольные, а подлежат нахождению из уравнения Шрёдингера, а базисные волновые функции, наоборот, могут быть произвольными (пока они удовлетворяют обычным требованиям, предъявляемым к базису).

[arctg]

Ок, тогда понятно.
И это все также справедливо и для релятивистского случая?
Не подскажите какую-нить литературу по этому вопросу?

[warlock66613]

arctg в сообщении #1411807 писал(а):

И это все также справедливо и для релятивистского случая?

В общем - да. Гильбертово пространство состояний, а значит и понятие базиса в этом пространстве, сохраняется и в релятивистском случа. Что касается литературы по вопросу... Всё ещё непонятно, в чём именно состоит вопрос. Всё, что я говорю, основывается на понимании основ квантовой теории, которое должно возникать при проработке обычных учебников по квантовой механике и релятивистской квантовой теории поля.

Вы там что-то хотели интегрировать по пространству и получалось неинвариантно? Для таких случаев есть стандартный приём - интеграл по пространству $\int V(\mathbf x, \mathbf x', t) d^3x$ равен интегралу по 4-пространству $\int U(\mathbf x, t, \mathbf x', t') d^4x$, где релитивистски-инвариантная величина $U(\mathbf x, t, \mathbf x', t')$ определена как $U(\mathbf x, t, \mathbf x', t') = V(\mathbf x, \mathbf x', t) \delta(t - t')$. То есть, чтобы получить явную инвариантность, мы домножаем пространственный интеграл на единицу $1 = \int \delta(t - t') dt$.

[arctg]

Ну в данном случае вопрос теперь будет о
релятивистском разложении возмущенных волновых функций по базису невозмущенных (зависящих от времени)
Нужен какой-нить конкретный пример. Наверное речь идет о скалярном поле или спинорном.

Литературу по км я читал очень давно, основы помню но узкие моменты нет,
возможно я тогда и не старался особо вникнуть. В одних учебниках одно
хорошо расписано в других другое. Сейчас как-то уже и возраст не тот чтобы подряд
все учебники перечитывать.

[warlock66613]

arctg в сообщении #1411815 писал(а):

релятивистском разложении возмущенных волновых функций по базису невозмущенных (зависящих от времени)

Это вы так теорию возмущений "закодировали"? Да, есть явно-релятивистский вариант теории возмущений. Вы хотя бы скажите, вас одночастичное приближение интересует или же полноценная квантовая теория поля?

[arctg]

warlock66613 в сообщении #1411820 писал(а):

Это вы так теорию возмущений "закодировали"? Да, есть явно-релятивистский вариант теории возмущений. Вы хотя бы скажите, вас одночастичное приближение интересует или же полноценная квантовая теория поля?

Не это как-то вы широко взяли.


Нужен какой-нить конкретный пример релятивистского разложения возмущенных волновых функций по базису невозмущенных (зависящих от времени). Наверное речь идет о скалярном поле или спинорном.
Матрица плотности скалярного поля к примеру.

[warlock66613]

arctg, боюсь такой пример сложно найти. В соременной КТП с волновыми функциями обычно напрямую не работают, там больше в ходу функции Грина.

-- 24.08.2019, 02:32 --

Но в принципе, если вы очень хотите и настаиваете... книга Hatfield "Quantum Field Theory of Point Particles and Strings", уравнение (11.73). Только я ещё раз подчёркиваю, что это подход 1) нестандартный, 2) сложный по сравнению со стандартными, 3) без явной релятивистской инвариантности.

[arctg]

Посмотрел, интересно. Напоминает 1-ю поправку к волновой функции (насколько я помню)
в стандартной нерелятивистской км.
Но там следующей строкой:
Eq.(11.73) fails to give the correct form for the perturbed wave functional.

И это не совсем то... хотелось бы что-нить про релятивистскую матрицу плотности...

[warlock66613]

arctg в сообщении #1411869 писал(а):

хотелось бы что-нить про релятивистскую матрицу плотности...

Нет никакой особой релятивистской матрицы плотности. В тех контекстах, где она реально применяется (спиновая матрица плотности, например, или где-нибудь в квантовой статфизике релятивистского газа), она ничем не отличается от матрицы плотности в нерелятивиском случае.

[arctg]

warlock66613 в сообщении #1411992 писал(а):

arctg в сообщении #1411869 писал(а):

Нет никакой особой релятивистской матрицы плотности. В тех контекстах, где она реально применяется (спиновая матрица плотности, например, или где-нибудь в квантовой статфизике релятивистского газа), она ничем не отличается от матрицы плотности в нерелятивиском случае.

Думаю вы правы, уравнение Гейзенберга для матрицы плотности релятивистски инвариантно,
если соответствующий гамильтониан инвариантен.
Хотя мне вроде что-то попадалось не помню где, что там вводили дополнительный нулевой
столбец и строку в релятивистском случае...