2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Релятивистский квантовый принцип суперпозиции
Сообщение23.08.2019, 10:16 


23/08/19
15
Хорошо известен принцип суперпозиции нерелятивистской квантовой механики,
к примеру для 2-х состояний:
$\Psi=a_1(t)\psi_1(r)+a_2(t)\psi_2(r)$.
Принцип суперпозиции должен выполняться и в релятивистском случае.
Но если мы хотим получить уравнение для матрицы плотности
и домножим уравнение слева на $\Psi^{*}$ и проинтегрируем по
пространственным координатам, то это будет релятивистски не инвариантно.
В общем не понятно как действовать в релятивистском случае,
перерыл много литературы, но понятного мне примера не нашел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский квантовый принцип суперпозиции
Сообщение23.08.2019, 12:36 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
arctg, непонятно, как именно приведённая формула связана с принципом суперпозиции. Так что может вы его явно сформулируете, чтобы стало понятнее, что именно у вас не переносится на релятивистский случай?

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский квантовый принцип суперпозиции
Сообщение23.08.2019, 12:46 


23/08/19
15
warlock66613 в сообщении #1411762 писал(а):
arctg, непонятно, как именно приведённая формула связана с принципом суперпозиции. Так что может вы его явно сформулируете, чтобы стало понятнее, что именно у вас не переносится на релятивистский случай?


У меня все стандартно. Вот пример из википедии
"Если функции $\Psi _{1}$ и $\Psi _{2}$ являются допустимыми волновыми функциями, описывающими состояние квантовой системы, то их линейная суперпозиция, $\Psi _{3}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}$, также описывает какое-то состояние данной системы."
Стоит только подчеркнуть, что рассматривается нестационарный случай.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский квантовый принцип суперпозиции
Сообщение23.08.2019, 14:11 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
arctg, для нестационарного случая в картине Шрёдингера будет так: если $\psi_1(x, t)$ и $\psi_2(x, t)$ являются допустимыми волновыми функциями, описывающими состояние квантовой системы, то их линейная суперпозиция $c_1 \psi_1(x, t) + c_2 \psi_2(x, t)$ также описывает какое-то состояние данной системы. Обратите внимание, где тут буквы $t$: константы $c_1$ и $c_2$ от времени не зависят.

Таким образом, в релятивистском случае принцип суперпозиции новых трудностей не добавляет: чтобы в результате его применения получить зависящую от времени волновую функцию, вы уже должны иметь две таких функции (ну или хотя бы одну), и сопуствующие трудности. В принципе ничего страшного в этом нет, просто релитивистская инвариантность при таком подходе оказывается неявной, скрытой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский квантовый принцип суперпозиции
Сообщение23.08.2019, 15:21 


23/08/19
15
П.В. Короленко
"Взаимодействие излучения с веществом"
дано такое определение суперпозиции (стр 7)

"Для нахождения вероятности квантового перехода, необходимо
воспользоваться принципом суперпозиции состояния. Согласно этому
принципу, волновая функция $\Psi_n$ возмущенного состояния может быть
представлена в виде суммы невозмущенных волновых функций $\Psi_k(q,t)$ :

$\Psi_n(q,t)=\sum\limits_k a_{nk}(t)\Psi_k(q,t)$

коэффициент a зависит от t....

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский квантовый принцип суперпозиции
Сообщение23.08.2019, 17:24 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
arctg, ну неудачно выразился П. В. Короленко. Принцип суперпозиции, как его обычно понимают, тут не при чём. Речь идёт о том, что в любой момент времени мгновенные невозмущённые волновые функции образуют базис, по которому можно разложить мгновенное значение возмущённой волновой функции. В отличие от принципа суперпозиции, коэффициенты $a$ здесь не произвольные, а подлежат нахождению из уравнения Шрёдингера, а базисные волновые функции, наоборот, могут быть произвольными (пока они удовлетворяют обычным требованиям, предъявляемым к базису).

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский квантовый принцип суперпозиции
Сообщение23.08.2019, 17:27 


23/08/19
15
Ок, тогда понятно.
И это все также справедливо и для релятивистского случая?
Не подскажите какую-нить литературу по этому вопросу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский квантовый принцип суперпозиции
Сообщение23.08.2019, 18:14 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
arctg в сообщении #1411807 писал(а):
И это все также справедливо и для релятивистского случая?
В общем - да. Гильбертово пространство состояний, а значит и понятие базиса в этом пространстве, сохраняется и в релятивистском случа. Что касается литературы по вопросу... Всё ещё непонятно, в чём именно состоит вопрос. Всё, что я говорю, основывается на понимании основ квантовой теории, которое должно возникать при проработке обычных учебников по квантовой механике и релятивистской квантовой теории поля.

Вы там что-то хотели интегрировать по пространству и получалось неинвариантно? Для таких случаев есть стандартный приём - интеграл по пространству $\int V(\mathbf x, \mathbf x', t) d^3x$ равен интегралу по 4-пространству $\int U(\mathbf x, t, \mathbf x', t') d^4x$, где релитивистски-инвариантная величина $U(\mathbf x, t, \mathbf x', t')$ определена как $U(\mathbf x, t, \mathbf x', t') = V(\mathbf x, \mathbf x', t) \delta(t - t')$. То есть, чтобы получить явную инвариантность, мы домножаем пространственный интеграл на единицу $1 = \int \delta(t - t') dt$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский квантовый принцип суперпозиции
Сообщение23.08.2019, 18:59 


23/08/19
15
Ну в данном случае вопрос теперь будет о
релятивистском разложении возмущенных волновых функций по базису невозмущенных (зависящих от времени)
Нужен какой-нить конкретный пример. Наверное речь идет о скалярном поле или спинорном.

Литературу по км я читал очень давно, основы помню но узкие моменты нет,
возможно я тогда и не старался особо вникнуть. В одних учебниках одно
хорошо расписано в других другое. Сейчас как-то уже и возраст не тот чтобы подряд
все учебники перечитывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский квантовый принцип суперпозиции
Сообщение23.08.2019, 19:23 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
arctg в сообщении #1411815 писал(а):
релятивистском разложении возмущенных волновых функций по базису невозмущенных (зависящих от времени)
Это вы так теорию возмущений "закодировали"? Да, есть явно-релятивистский вариант теории возмущений. Вы хотя бы скажите, вас одночастичное приближение интересует или же полноценная квантовая теория поля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский квантовый принцип суперпозиции
Сообщение23.08.2019, 19:51 


23/08/19
15
warlock66613 в сообщении #1411820 писал(а):
Это вы так теорию возмущений "закодировали"? Да, есть явно-релятивистский вариант теории возмущений. Вы хотя бы скажите, вас одночастичное приближение интересует или же полноценная квантовая теория поля?


Не это как-то вы широко взяли.


Нужен какой-нить конкретный пример релятивистского разложения возмущенных волновых функций по базису невозмущенных (зависящих от времени). Наверное речь идет о скалярном поле или спинорном.
Матрица плотности скалярного поля к примеру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский квантовый принцип суперпозиции
Сообщение24.08.2019, 01:09 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
arctg, боюсь такой пример сложно найти. В соременной КТП с волновыми функциями обычно напрямую не работают, там больше в ходу функции Грина.

-- 24.08.2019, 02:32 --

Но в принципе, если вы очень хотите и настаиваете... книга Hatfield "Quantum Field Theory of Point Particles and Strings", уравнение (11.73). Только я ещё раз подчёркиваю, что это подход 1) нестандартный, 2) сложный по сравнению со стандартными, 3) без явной релятивистской инвариантности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский квантовый принцип суперпозиции
Сообщение24.08.2019, 07:43 


23/08/19
15
Посмотрел, интересно. Напоминает 1-ю поправку к волновой функции (насколько я помню)
в стандартной нерелятивистской км.
Но там следующей строкой:
Eq.(11.73) fails to give the correct form for the perturbed wave functional.

И это не совсем то... хотелось бы что-нить про релятивистскую матрицу плотности...

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский квантовый принцип суперпозиции
Сообщение25.08.2019, 20:01 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
arctg в сообщении #1411869 писал(а):
хотелось бы что-нить про релятивистскую матрицу плотности...
Нет никакой особой релятивистской матрицы плотности. В тех контекстах, где она реально применяется (спиновая матрица плотности, например, или где-нибудь в квантовой статфизике релятивистского газа), она ничем не отличается от матрицы плотности в нерелятивиском случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский квантовый принцип суперпозиции
Сообщение25.08.2019, 21:43 


23/08/19
15
warlock66613 в сообщении #1411992 писал(а):
arctg в сообщении #1411869 писал(а):
Нет никакой особой релятивистской матрицы плотности. В тех контекстах, где она реально применяется (спиновая матрица плотности, например, или где-нибудь в квантовой статфизике релятивистского газа), она ничем не отличается от матрицы плотности в нерелятивиском случае.


Думаю вы правы, уравнение Гейзенберга для матрицы плотности релятивистски инвариантно,
если соответствующий гамильтониан инвариантен.
Хотя мне вроде что-то попадалось не помню где, что там вводили дополнительный нулевой
столбец и строку в релятивистском случае...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group