Непрерывность функции в точке и на множестве

[Someone]

Nickname1101 в сообщении #1410653 писал(а):

Таким образом, если Вы предлагаете доказывать, например, свойства арифметических операций над непрерывными функциями, дублируя (с небольшими корректировками) те доказательства, которые уже были при рассмотрении арифметических операций над пределами функций, то, на мой взгляд, это не рационально. В таком случае гораздо проще рассматривать отдельно предельные точки (и использовать в них свойства предела Коши) и изолированные точки. Поэтому, изолированная точка или предельная - роль таки играет.

Врете Вы всё. Доказательство непрерывности через предел Коши идейно сложнее, так как требует разбора разных случаев и доказательства специальной теоремы о связи предела и непрерывности. Теоремы о свойствах пределов по множеству включают условия, совершенно не нужные для непрерывности. Поэтому в той ситуации, которая рассматривается у Зорича, получится не упрощение, а усложнение.
Кстати, в своей долгой преподавательской деятельности я такой вариант пробовал и пришёл к выводу, что он неудобен и осложняет жизнь студентам.

[beroal]

Nickname1101 в сообщении #1410660 писал(а):

Первый раз слышу про "непрерывность суммирования". Вас не затруднит дать пояснение, что это такое? (или источник, где об этом можно почитать).

Суммирование вещественных чисел — это функция из $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$. Поскольку это функция, почему бы не применить к ней понятие непрерывности? Но дополнительно надо определить базы систем окрестностей в $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$. Есть следующие варианты.

• Шары относительно метрики Эвклида. Положим, что база систем окрестностей $(a, b)$ есть $\{(a', b')\mid a'\in \mathbb{R}, b'\in \mathbb{R}; \exists\varepsilon\in \mathbb{R}_{>0}(\sqrt{(a'-a)^2 + (b'-b)^2} < \varepsilon)\}$.
• Многомерные интервалы. Положим, что база систем окрестностей $(a, b)$ есть $\{(a', b')\mid a'\in \mathbb{R}, b'\in \mathbb{R}; \exists\varepsilon\in \mathbb{R}_{>0}(\exists\delta\in \mathbb{R}_{>0}(|a'-a|<\varepsilon\land |b'-b|<\delta))\}$.

Определения непрерывности и предела для обоих вариантов эквивалентны, так как оба варианта топологически неразличимы.

Недостаток такого подхода в том, что перед тем, как доказать простейшие свойства пределов (я подразумеваю факт о сумме пределов функций), надо начать многомерный вещественный анализ. Как преподаватели выкручиваются, не знаю.

Почитать, по идее, можно в учебниках по анализу. Конкретные учебники не подскажу, так как анализом я интересуюсь мало. Может, более опытный человек подскажет.

[Connector]

Nickname1101 в сообщении #1410658 писал(а):

Connector Из темы выходить не обязательно, можете делиться своими мыслями здесь.

Итак.
Рассматривая точечные множества, приходят к понятию предельной точки, важному для анализа и топологии. Понятие предела функции возникает тогда, когда мы рассматриваем два таких множества и отображение из одного в другое (или же, как, например, в случае предела последовательности, когда на множестве определены два отношения порядка, и встаёт вопрос об их «согласовании»).
Я видел топик https://dxdy.ru/topic135844.html, и тем не менее скажу сначала о пределе последовательности: практические мотивировки введения этого понятия изложены у Зорича, в начале III главы первого тома. Существуют и внутриматематические мотивы — например, необходимость избежать противоречий, возникающих при попытках интуитивного разрешения вопроса о бесконечной сумме $1+1-1+1-1...$. Пусть теперь нам даны переменные величины $x$ и $y$. У них имеются прототипы — физические величины $X$, $Y$, меняющиеся в ходе некоторого процесса.

(Оффтоп)

Представляется ли нам зависимость $Y$ от $X$ функциональной (однозначной)? Это зависит от точности измерения. Во многих случаях можно измерить $Y$ с такой погрешностью (при известной погрешности для $X$), что модель функциональной зависимости будет применима; в противном случае можно взять среднее значение $Y$, и модель попрежнему будет применима .

Если абсолютная погрешность измерения $X$ равна $e$, то всякое значение $X$, можно сказать, предстаёт перед нами в виде шара с радиусом $e$. Мы можем повышать точность измерений; но что при этом будет происходить с $Y$? Если функция $f$, моделирующая зависимость $Y$ от $X$, стремится к некоторому (конечному) пределу при $x$, стремящемся к некоторому $a$, то у нас сложится представление, что значению $a$ физической величины $X$ отвечает определенное значение величины $Y$ (при этом собственно значения в точке $a$ мы никогда не получим; оно может в действительности и не существовать). Допустим, что функция не имеет предела при $x$, стремящемся к $a$. Это означает, что при достаточно низкой погрешности измерения $Y$ мы никогда не сможем применить модель функциональной зависимости, потому что сколь бы точно мы ни измеряли $X$, зависимая величина будет время от времени принимать разные значения в одной и той же точке. Я себе представляю это так.

Но допустим, мы заметили, что $y$ ведёт себя странно только для $\varepsilon$-окрестности $a$, но $\lim\limits_{x\to a-\varepsilon}f(x)$ существует и равен $\lim\limits_{x\to a+\varepsilon}f(x)$. Тогда мы можем отказаться от рассмотрения значений функции в этой окрестности; все окрестности точки $a$ окажутся тогда не проколотыми, а так сказать «выпотрошенными»; точка $a$ окажется изолированной точкой, но для неё будет определено некоторое значение $f$.
В том примере, который я приводил ранее (функция $f$, соотносящая всякому действительному числу целую часть его модуля) можно было бы не делать точку $0$ изолированной, а с тем же успехом как бы «склеить» точки $1$ и $-1$ (не знаю, как это осуществить); предел в такой «точке» был бы равен «пределу» в точке $0$...

[Brukvalub]

Connector в сообщении #1410739 писал(а):

Допустим, что функция не имеет предела при $x$, стремящемся к $a$. Это означает, что при достаточно низкой погрешности измерения $Y$ мы никогда не сможем применить модель функциональной зависимости, потому что сколь бы точно мы ни измеряли $X$, зависимая величина будет время от времени принимать разные значения в одной и той же точке. Я себе представляю это так.

Но допустим, мы заметили, что $y$ ведёт себя странно только для $\varepsilon$-окрестности $a$, но $\lim\limits_{x\to a-\varepsilon}f(x)$ существует и равен $\lim\limits_{x\to a+\varepsilon}f(x)$. Тогда мы можем отказаться от рассмотрения значений функции в этой окрестности; все окрестности точки $a$ окажутся тогда не проколотыми, а так сказать «выпотрошенными»; точка $a$ окажется изолированной точкой, но для неё будет определено некоторое значение $f$.

Все это - фантазии на ровном месте. Я не знаю ни одной математической модели реального процесса, в которой используется такой подход к доопределению значений функции.
Если вы знаете такие модели, назовите их здесь, в противном случае это просто никому не нужные пустые измышления.

[vpb]

(Connector)

От души говорю: читайте нормальные книжки, не читайте того, что ТС пишет, и у Вас восстановится понимание предмета и душевное равновесие. А то Вы сейчас занимаетесь тем, что под его схоластику пытаетесь подогнать какое-то "практическое" обоснование. Зачем ?

-- 16.08.2019, 15:32 --

beroal в сообщении #1410710 писал(а):

Как преподаватели выкручиваются, не знаю.

Очень просто. Доказывают теоремы о сумме и т.д. пределов (и аналогичные теоремы о непрерывных функциях) так же, как и деды делали. Без всякой топологии. И недурно выходит. Или с топологией, что лишь чуть сложнее. Откройте Зорича или Камынина и наслаждайтесь.

[Nickname1101]

Connector в сообщении #1410739 писал(а):

Итак.

Под "делиться своими мыслями" я подразумевал не это.

Connector в сообщении #1410739 писал(а):

В том примере, который я приводил ранее (функция $f$, соотносящая всякому действительному числу целую часть его модуля)...

... и определенная непонятно где, и что-то там с четностью/нечетностью еще... А попроще примера у Вас не нашлось? Функция, тождественно равная единице всюду, за исключением отрезка $[-1; 1]$ и равная нулю в нуле. Ваш "предел" (в какой точке? и точке ли?) у этой функции будет равен 1. Но внезапно на $(-0.5, 0) \cup (0, 0.5)$ функцию доопределили так, чтобы на этом объединении интервалов она стала принимать значение 100500. Какой тогда у этой функции будет Ваш "предел"? (и где он будет, я так и не понял всю эту чушь с выпотрошенными точками). И будет ли он? А если и будет, то всем было бы лучше, если бы его не было... В общем, велосипед Ваш получился так себе.

vpb в сообщении #1410759 писал(а):

А то Вы сейчас занимаетесь тем, что под его схоластику пытаетесь подогнать какое-то "практическое" обоснование. Зачем ?

Я предложил сузить область применения понятия "непрерывность функции" в одномерном анализе до точек, предельных для ее области определения и ничего более. Где Вы тут схоластику обнаружили? То, что написал Connector, я считаю лженаукой и бредом. Я к этому всему отношения никакого не имею.

Connector, Вы уж извините, но Вам стоило оставить свои "построения" при себе. Также Вам стоило подумать о тех людях, которые потратят свое драгоценное время на чтение Вашей ерунды.

[Connector]

Brukvalub
К сожалению, и я не знаю таких моделей и не смогу их здесь назвать.
Nickname1101
Извините. Видимо, да, следовало оставить при себе.

(Оффтоп)

Nickname1101 в сообщении #1410789 писал(а):

и определенная непонятно где

Область определения моей функции состоит из всех действительных $x$ таких, что $x \leqslant -1$ или $x \geqslant 1$ или $x = 0$. Если её доопределить, то $0$ станет предельной точкой множества определения, и предел будет равен $100500$.

[Otta]

Nickname1101

Nickname1101 в сообщении #1410789 писал(а):

Я предложил сузить область применения понятия "непрерывность функции" в одномерном анализе до точек, предельных для ее области определения и ничего более.

Ну сузьте. Ничего при этом не произойдет. Зачем столько слов тратить?

[Nickname1101]

Otta в сообщении #1410809 писал(а):

Ничего при этом не произойдет. Зачем столько слов тратить?

Я когда начинал эту тему, я думал примерно так: кто я такой, чтобы менять одно из самых базовых определений анализа. Я не был уверен, что ничего серьезного не произойдет. То, что формулировки некоторых теорем немного изменятся - это факт. Вдруг случится так, что одна немного изменится, другая немного изменится, а третья вообще перестанет работать. Эти определения прошли через сотни тысяч людей. Я не исключал возможность, что непрерывность в изолированных точках может иметь какие-то очень важные следствия, которые я не вижу. Ради этого я тему и поднял.

[vpb]

Otta в сообщении #1410809 писал(а):

Ничего при этом не произойдет

Хорошего-то (какой-то существенной экономии мысли) при этом не пройзойдет, а вот плохое, в лице внезапного расхождения с общетопологическими концепциями, случится.

[Otta]

Nickname1101 в сообщении #1410815 писал(а):

Я не исключал возможность, что непрерывность в изолированных точках может иметь какие-то очень важные следствия, которые я не вижу.

Не может. Поскольку все функции в изолированных точках непрерывны. Куда уж дальше?

Nickname1101 в сообщении #1410815 писал(а):

Я когда начинал эту тему, я думал примерно так: кто я такой, чтобы менять одно из самых базовых определений анализа.

А Вы его и не меняете.

[vpb]

И еще я вижу конкретный вред в том, что у читателей в результате чтения произведений ТС будет возникать путаница в головах. Пока что она у Connector случилась.

[Nickname1101]

vpb в сообщении #1410824 писал(а):

И еще я вижу конкретный вред в том, что у читателей в результате чтения произведений ТС будет возникать путаница в головах.

(Оффтоп)

Я не очень хочу засорять еще одну страницу/тему форума флеймом по теории предела в одномерном анализе. Честно говоря, для меня слегка неожиданно, что в такой простой теме могут кипеть такие жаркие холивары. Но, если я проигнорирую это Ваше сообщение, со стороны это будет выглядеть так, как будто я писал в своих темах что-то совершенно ошибочное. На мой взгляд, это не так. Поэтому, Ваше сообщение либо остается голословным, либо же мы можем обсудить мои "произведения" по существу. Если я где-то допустил ошибку (и никто этого не заметил или я это не признал), можете цитировать это место из любого моего сообщения в любой начатой мною теме. А я обещаю Вам дать свой комментарий. Я абсолютно открыт для обсуждения любого вопроса из мною поднятых.

[Lia]

Nickname1101 в сообщении #1410815 писал(а):

Я когда начинал эту тему, я думал примерно так: кто я такой, чтобы менять одно из самых базовых определений анализа. Я не был уверен, что ничего серьезного не произойдет.

Nickname1101 в сообщении #1410836 писал(а):

Честно говоря, для меня слегка неожиданно, что в такой простой теме

Тут я вижу некое противоречие.

Nickname1101 в сообщении #1410836 писал(а):

Я абсолютно открыт для обсуждения любого вопроса из мною поднятых.

В ЛС, пожалуйста. Тему я закрываю, как абсолютно пустопорожнюю.

[Lia]

Nickname1101 заблокирован бессрочно в связи с двойной регистрацией. Следующая инкарнация проживает тут: oleg.k