Перестройка вакуума в теории БКШ

[coagulator]

Доброго времени суток, товарищи

Помогите разобраться в следующем.

1. Рассмотрим теорию фермионов с контактным притяжением $g$. Этой теории посвящены несколько параграфов 9-ого тома Ландау. Возьмем параграф 41, рассмотрим формулу (41.11). Эта формула дает выражение для двухчастичной функции Грина в нашей теории:

$$\langle \Psi_1\Psi_2\Psi_3^{\dagger}\Psi_4^{\dagger}\rangle=-\langle T\Psi_1\Psi_3^{\dagger}\rangle\langle T\Psi_2\Psi_4^{\dagger}\rangle+\langle T\Psi_1\Psi^{\dagger}_4\rangle\langle T\Psi_2\Psi_3^{\dagger}\rangle+\langle N|T\Psi_1\Psi_2|N+2\rangle\langle N+2|\Psi_3^{\dagger}\Psi_{4}^{\dagger}|N\rangle.$$

Опираясь на книжку АГД, вроде как формула (41.11) получается следующим образом: мы пренебрегаем взаимодействием (рассеянием фермионов) и считаем, что все, что дает взаимодействие -- это перестройка вакуума теории.

2. Рассмотрим теперь параграф 54 этого же томика Ландау. В нем изучается вершинная функция при ненулевых орбитальных моментов электронов. Из определения вершинной функции как ряда диаграмм (см. формулу 54.2), путем стандартных манипуляций, получена формула 54.6, а затем в 54.9 сделано утверждение о наличии полюса в вершинной функции. Через анализ полюса вершинной функции во всех найденных мною источниках получают выражение для точки фазового перехода.

Мне бы хотелось понять можно ли, анализируя вершинную функцию в теории с контактным притяжением $g$ вывести щелевой закон дисперсии $\varepsilon(p)=\sqrt{p^2+\Delta^2}$. Возможно ли это? Как я подозреваю, сама величина $\Delta$ связана с перестройкой вакуума и мне кажется, что перестройка вакуума -- эффект непертурбативный. Также знаю как получить спектр, сделав преобразование Хаббарда-Стратановича, введя комплексное скалярное поле $\Delta$ для "расцепления" 4-фермионного взаимодействия.

[amon]

coagulator в сообщении #1411036 писал(а):

можно ли, анализируя вершинную функцию в теории с контактным притяжением $g$ вывести щелевой закон дисперсии

Можно, если сразу ввести ручками аномальные функции Грина, что и проделано в цитированном Вами параграфе 41 (формула 41.17). Однако, гораздо проще и прозрачней с физической точки зрения это делается с помощью преобразований Боголюбова (см. например Румер, Рывкин. Термодинамика, статистическая физика и кинетика, параграф 70 (стр. 370) 2000 год, изд. Новосибирского университета).

[Gickle]

(ворчание)

Ссылаться на формулы из литературы, не выписывая их, -- дурная практика, как по мне.

Тут много каких-то слов прозвучало хитроунмых, но мало уравнений, так что я тоже буду только слова говорить. Ответ: да, можно. Вам уже Alex-Yu вроде даже объяснял, кажется, в какой-то теме. Можете, скажем, в каком-то приближении посмотреть на структуру $\Gamma^{(4)}$ для этого. Идеологически близкое уравнение для соответствующих вершинных функций именуется Bethe-Salpeter equation (и его вариации и обобщения).

[coagulator]

То, что мне Alex писал я осознал и понял, только вот осознал также, что величину щели "с неба" достать я не могу.

Если я буду рассматривать 4-фермионное контактное взаимодействие, то из уравнения Бете-Солпитера максимум вижу когда возникает полюс у вершинной функции, т.е. определяю температуру перехода. Это подробнейшим образом изложено в ЛЛ в 54 параграфе (случай для ненулевых орбитальных моментов), а еще там написано следующее: "после появления такого полюса весь этот аппарат становится неприменимым, но он еще применим в первый момент (при понижении температуры), когда полюс только появился и энергия пары равна нулю". Это меня и смущает.

Я бы хотел не вводить изначально аномальные Гриновские функции и не делать преобразование Хаббарда-Стратановича (вводить дополнительное скалярное поле $\Delta$). Вот потому и уточняю, ибо в голове пока каша.

-- 19.08.2019, 21:01 --

Gikle,

формулу 41.11 я выписал

формула 54.2 -- выражение для вершинной функции в виде ряда лестничных диаграмм, все остальные формулы -- это просуммированный ряд, а затем исследование знаменателя дроби на обращение в ноль (=определение полюса).

Обычно все мои вопросы либо дурацкие, либо бессмысленные, так что не ворчите уж сильно) К сожалению, осознание приходит только после подобных обсуждений

[amon]

coagulator в сообщении #1411186 писал(а):

а еще там написано следующее: "после появления такого полюса весь этот аппарат становится неприменимым, но он еще применим в первый момент (при понижении температуры), когда полюс только появился и энергия пары равна нулю". Это меня и смущает.

Ваши операторы поля $\Psi(x)$ написаны для нормальной фазы. Для них $a_k|0\rangle=0$ если под $|0\rangle$ понимать "обычный" вакуум (заполненную сферу Ферми, температуру для простоты держим нулем). При сверхпроводящем переходе меняется вакуумное состояние, и новыми операторами рождения в первом приближении будут линейные комбинации старых операторов рождения и уничтожения $b=\alpha a+\beta a^+$, для которых $b|0)=0$ ($|0)$ - новое вакуумное состояние). Отсюда возникают аномальные функции Грина. Если мы работаем со старыми операторами, то вакуумное среднее по новому вакууму $|0)$ от $a_ka_{k'}$ оказывается неравным нулю. Это все в том или ином виде написано у Румера, которого я настоятельно советую прочитать прежде чем дальше разбираться с Питаевским.

[coagulator]

Спасибо, теперь понятно