2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Перестройка вакуума в теории БКШ
Сообщение18.08.2019, 15:38 


28/10/16
42
Доброго времени суток, товарищи

Помогите разобраться в следующем.

1. Рассмотрим теорию фермионов с контактным притяжением $g$. Этой теории посвящены несколько параграфов 9-ого тома Ландау. Возьмем параграф 41, рассмотрим формулу (41.11). Эта формула дает выражение для двухчастичной функции Грина в нашей теории:
$$\langle \Psi_1\Psi_2\Psi_3^{\dagger}\Psi_4^{\dagger}\rangle=-\langle T\Psi_1\Psi_3^{\dagger}\rangle\langle T\Psi_2\Psi_4^{\dagger}\rangle+\langle T\Psi_1\Psi^{\dagger}_4\rangle\langle T\Psi_2\Psi_3^{\dagger}\rangle+\langle N|T\Psi_1\Psi_2|N+2\rangle\langle N+2|\Psi_3^{\dagger}\Psi_{4}^{\dagger}|N\rangle.$$
Опираясь на книжку АГД, вроде как формула (41.11) получается следующим образом: мы пренебрегаем взаимодействием (рассеянием фермионов) и считаем, что все, что дает взаимодействие -- это перестройка вакуума теории.

2. Рассмотрим теперь параграф 54 этого же томика Ландау. В нем изучается вершинная функция при ненулевых орбитальных моментов электронов. Из определения вершинной функции как ряда диаграмм (см. формулу 54.2), путем стандартных манипуляций, получена формула 54.6, а затем в 54.9 сделано утверждение о наличии полюса в вершинной функции. Через анализ полюса вершинной функции во всех найденных мною источниках получают выражение для точки фазового перехода.

Мне бы хотелось понять можно ли, анализируя вершинную функцию в теории с контактным притяжением $g$ вывести щелевой закон дисперсии $\varepsilon(p)=\sqrt{p^2+\Delta^2}$. Возможно ли это? Как я подозреваю, сама величина $\Delta$ связана с перестройкой вакуума и мне кажется, что перестройка вакуума -- эффект непертурбативный. Также знаю как получить спектр, сделав преобразование Хаббарда-Стратановича, введя комплексное скалярное поле $\Delta$ для "расцепления" 4-фермионного взаимодействия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестройка вакуума в теории БКШ
Сообщение19.08.2019, 10:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
coagulator в сообщении #1411036 писал(а):
можно ли, анализируя вершинную функцию в теории с контактным притяжением $g$ вывести щелевой закон дисперсии
Можно, если сразу ввести ручками аномальные функции Грина, что и проделано в цитированном Вами параграфе 41 (формула 41.17). Однако, гораздо проще и прозрачней с физической точки зрения это делается с помощью преобразований Боголюбова (см. например Румер, Рывкин. Термодинамика, статистическая физика и кинетика, параграф 70 (стр. 370) 2000 год, изд. Новосибирского университета).

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестройка вакуума в теории БКШ
Сообщение19.08.2019, 15:07 
Заслуженный участник


29/12/14
504

(ворчание)

Ссылаться на формулы из литературы, не выписывая их, -- дурная практика, как по мне.


Тут много каких-то слов прозвучало хитроунмых, но мало уравнений, так что я тоже буду только слова говорить. Ответ: да, можно. Вам уже Alex-Yu вроде даже объяснял, кажется, в какой-то теме. Можете, скажем, в каком-то приближении посмотреть на структуру $\Gamma^{(4)}$ для этого. Идеологически близкое уравнение для соответствующих вершинных функций именуется Bethe-Salpeter equation (и его вариации и обобщения).

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестройка вакуума в теории БКШ
Сообщение19.08.2019, 20:57 


28/10/16
42
То, что мне Alex писал я осознал и понял, только вот осознал также, что величину щели "с неба" достать я не могу.

Если я буду рассматривать 4-фермионное контактное взаимодействие, то из уравнения Бете-Солпитера максимум вижу когда возникает полюс у вершинной функции, т.е. определяю температуру перехода. Это подробнейшим образом изложено в ЛЛ в 54 параграфе (случай для ненулевых орбитальных моментов), а еще там написано следующее: "после появления такого полюса весь этот аппарат становится неприменимым, но он еще применим в первый момент (при понижении температуры), когда полюс только появился и энергия пары равна нулю". Это меня и смущает.

Я бы хотел не вводить изначально аномальные Гриновские функции и не делать преобразование Хаббарда-Стратановича (вводить дополнительное скалярное поле $\Delta$). Вот потому и уточняю, ибо в голове пока каша.

-- 19.08.2019, 21:01 --

Gikle,

формулу 41.11 я выписал

формула 54.2 -- выражение для вершинной функции в виде ряда лестничных диаграмм, все остальные формулы -- это просуммированный ряд, а затем исследование знаменателя дроби на обращение в ноль (=определение полюса).

Обычно все мои вопросы либо дурацкие, либо бессмысленные, так что не ворчите уж сильно) К сожалению, осознание приходит только после подобных обсуждений

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестройка вакуума в теории БКШ
Сообщение19.08.2019, 23:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
coagulator в сообщении #1411186 писал(а):
а еще там написано следующее: "после появления такого полюса весь этот аппарат становится неприменимым, но он еще применим в первый момент (при понижении температуры), когда полюс только появился и энергия пары равна нулю". Это меня и смущает.
Ваши операторы поля $\Psi(x)$ написаны для нормальной фазы. Для них $a_k|0\rangle=0$ если под $|0\rangle$ понимать "обычный" вакуум (заполненную сферу Ферми, температуру для простоты держим нулем). При сверхпроводящем переходе меняется вакуумное состояние, и новыми операторами рождения в первом приближении будут линейные комбинации старых операторов рождения и уничтожения $b=\alpha a+\beta a^+$, для которых $b|0)=0$ ($|0)$ - новое вакуумное состояние). Отсюда возникают аномальные функции Грина. Если мы работаем со старыми операторами, то вакуумное среднее по новому вакууму $|0)$ от $a_ka_{k'}$ оказывается неравным нулю. Это все в том или ином виде написано у Румера, которого я настоятельно советую прочитать прежде чем дальше разбираться с Питаевским.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестройка вакуума в теории БКШ
Сообщение19.08.2019, 23:31 


28/10/16
42
Спасибо, теперь понятно

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group