2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Параметрическое уравнение с двумя неизвестными
Сообщение17.08.2019, 21:11 


24/12/13
351
Докажите что уравнение имеет бесконечно много решении в $(x,y)$ натуральных числах
$$\dfrac{x+a}{y}+\dfrac{y+b}{x} =3$$
где $a,b$ фиксированные натуральные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметрическое уравнение с двумя неизвестными
Сообщение17.08.2019, 21:30 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Интересно, почему справа $3$, а не $4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметрическое уравнение с двумя неизвестными
Сообщение17.08.2019, 21:49 


24/12/13
351
Незнаю, это задача с aops

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметрическое уравнение с двумя неизвестными
Сообщение17.08.2019, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Идея: составить рекуррентную последовательность и по индукции её.
Например, для $a=b=1 \to (2,2,...a_n=3a_{n-1} -a_{n-2}-1)\to (2,2,3,6,14,35,91...)$
Соседние пары дают решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметрическое уравнение с двумя неизвестными
Сообщение17.08.2019, 23:15 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Здесь проблема в стартовых значениях --- надо доказать, что они всегда найдутся. Я ставлю на точки $(0,0)$, $(0,-b)$ и $(-a,0)$, которые нужно отразить относительно центра гиперболы. Хотя бы одна из отраженных точек окажется целой. Например, при $a \equiv b \pmod{5}$ таковой будет образ точки $(0,0)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметрическое уравнение с двумя неизвестными
Сообщение18.08.2019, 10:33 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
nnosipov в сообщении #1410978 писал(а):
Интересно, почему справа $3$, а не $4$.
Понятно, почему: уравнение $$\frac{x+1}{y}+\frac{y+2}{x}=4$$ не имеет решений в натуральных числах.

[Хорошо известно, что единственными целыми значениями выражения $$\frac{x+1}{y}+\frac{y+1}{x}$$ являются числа $3$ и $4$. Для более общего выражения $$\frac{x+a}{y}+\frac{y+b}{x}$$ тройка остается, а вот четверка --- увы, не всегда.]

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметрическое уравнение с двумя неизвестными
Сообщение18.08.2019, 11:49 


26/08/11
2057
nnosipov в сообщении #1410987 писал(а):
надо доказать, что они всегда найдутся

$x=y=a+b$ (может и не быть наименьшей). Дальше понятно:

$x_{n+1}=\begin{cases} x_n,\;\;x_n\ge y_n\\3y_n-a-x_n,\;\;x_n<y_n\end{cases}$

Аналогично $y_n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметрическое уравнение с двумя неизвестными
Сообщение18.08.2019, 12:17 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Shadow в сообщении #1411014 писал(а):
$x=y=a+b$
Да уж, совсем просто оказалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметрическое уравнение с двумя неизвестными
Сообщение18.08.2019, 19:11 


15/11/15
916
Shadow в сообщении #1411014 писал(а):
Дальше понятно:

$x_{n+1}=\begin{cases} x_n,\;\;x_n\ge y_n\\3y_n-a-x_n,\;\;x_n<y_n\end{cases}$

Реккуренция не застынет? Ведь для найденного частного решения выполнено первое условие.Тогда вроде найдено только одно решение...

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметрическое уравнение с двумя неизвестными
Сообщение18.08.2019, 19:30 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
gevaraweb в сообщении #1411048 писал(а):
Реккуренция не застынет?
Не должна. Если мы нашли целую точку на нужной ветке гиперболы, то остается ее только размножить стандартным способом. При этом мы останемся на той же ветке.

А, понял, в чем вопрос. Наверное, надо формулы подправить. В любом случае это не принципиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметрическое уравнение с двумя неизвестными
Сообщение19.08.2019, 10:07 


26/08/11
2057
gevaraweb в сообщении #1411048 писал(а):
Реккуренция не застынет?
Никогда.
Shadow в сообщении #1411014 писал(а):
$x_{n+1}=\begin{cases} x_n,\;\;x_n\ge y_n\\3y_n-a-x_n,\;\;x_n<y_n\end{cases}$

Аналогично $y_n$
Тоесть
$y_{n+1}=\begin{cases} y_n,\;\;\text{если } y_n> x_n\\3x_n-b-y_n,\;\;\text{если }y_n<x_n\end{cases}$

Нетрудно увидеть, что если $a<x_n<y_n$, то $x_{n+1}>y_n$ и т.д.

nnosipov в сообщении #1411049 писал(а):
А, понял, в чем вопрос.
А я нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметрическое уравнение с двумя неизвестными
Сообщение19.08.2019, 10:38 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Shadow в сообщении #1411098 писал(а):
А я нет.
Рекуррентная формула для $y_n$ не была написана. Теперь она есть, но непонятно, что делать (как вычислять $y_{n+1}$) в случае, когда $x_n=y_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметрическое уравнение с двумя неизвестными
Сообщение19.08.2019, 11:00 
Аватара пользователя


24/03/19
147
nnosipov в сообщении #1411103 писал(а):
в случае, когда $x_n=y_n$.

Тогда любая формула подойдет. В любом случае, $x_n,y_n > a,b,$ поэтому новые значения получаются строго больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметрическое уравнение с двумя неизвестными
Сообщение19.08.2019, 11:03 


26/08/11
2057
nnosipov в сообщении #1411103 писал(а):
Рекуррентная формула для $y_n$ не была написана

Я же написал "аналогично $y_n$"
nnosipov в сообщении #1411103 писал(а):
(как вычислять $y_{n+1}$) в случае, когда $x_n=y_n$.

ну да, $y_{n+1}=3x_n-b-y_n, \;\;\text{если } y_n\le x_n$

$\\x_1=a+b\\
y_1=a+b$

$\\x_2=a+b\\
y_2=3(a+b)-b-(a+b)=2a+b$

и т.д. Кстати, при $a\ne b$ получатся две различные серии решений, в зависимости от того что будем увеличивать вначале - x или y. Но о полноты решений речь не идет, только о бесконечности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group