Параметрическое уравнение с двумя неизвестными

[rightways]

Докажите что уравнение имеет бесконечно много решении в $(x,y)$ натуральных числах

$$\dfrac{x+a}{y}+\dfrac{y+b}{x} =3$$

где $a,b$ фиксированные натуральные числа.

[nnosipov]

Интересно, почему справа $3$, а не $4$.

[rightways]

Незнаю, это задача с aops

[gris]

Идея: составить рекуррентную последовательность и по индукции её.
Например, для $a=b=1 \to (2,2,...a_n=3a_{n-1} -a_{n-2}-1)\to (2,2,3,6,14,35,91...)$
Соседние пары дают решение.

[nnosipov]

Здесь проблема в стартовых значениях --- надо доказать, что они всегда найдутся. Я ставлю на точки $(0,0)$, $(0,-b)$ и $(-a,0)$, которые нужно отразить относительно центра гиперболы. Хотя бы одна из отраженных точек окажется целой. Например, при $a \equiv b \pmod{5}$ таковой будет образ точки $(0,0)$.

[nnosipov]

nnosipov в сообщении #1410978 писал(а):

Интересно, почему справа $3$, а не $4$.

Понятно, почему: уравнение

$$\frac{x+1}{y}+\frac{y+2}{x}=4$$

не имеет решений в натуральных числах.

[Хорошо известно, что единственными целыми значениями выражения

$$\frac{x+1}{y}+\frac{y+1}{x}$$

являются числа $3$ и $4$. Для более общего выражения

$$\frac{x+a}{y}+\frac{y+b}{x}$$

тройка остается, а вот четверка --- увы, не всегда.]

[Shadow]

nnosipov в сообщении #1410987 писал(а):

надо доказать, что они всегда найдутся

$x=y=a+b$ (может и не быть наименьшей). Дальше понятно:

$x_{n+1}=\begin{cases} x_n,\;\;x_n\ge y_n\\3y_n-a-x_n,\;\;x_n<y_n\end{cases}$

Аналогично $y_n$

[nnosipov]

Shadow в сообщении #1411014 писал(а):

$x=y=a+b$

Да уж, совсем просто оказалось.

[gevaraweb]

Shadow в сообщении #1411014 писал(а):

Дальше понятно:

$x_{n+1}=\begin{cases} x_n,\;\;x_n\ge y_n\\3y_n-a-x_n,\;\;x_n<y_n\end{cases}$

Реккуренция не застынет? Ведь для найденного частного решения выполнено первое условие.Тогда вроде найдено только одно решение...

[nnosipov]

gevaraweb в сообщении #1411048 писал(а):

Реккуренция не застынет?

Не должна. Если мы нашли целую точку на нужной ветке гиперболы, то остается ее только размножить стандартным способом. При этом мы останемся на той же ветке.

А, понял, в чем вопрос. Наверное, надо формулы подправить. В любом случае это не принципиально.

[Shadow]

gevaraweb в сообщении #1411048 писал(а):

Реккуренция не застынет?

Никогда.

Shadow в сообщении #1411014 писал(а):

$x_{n+1}=\begin{cases} x_n,\;\;x_n\ge y_n\\3y_n-a-x_n,\;\;x_n<y_n\end{cases}$

Аналогично $y_n$

Тоесть
$y_{n+1}=\begin{cases} y_n,\;\;\text{если } y_n> x_n\\3x_n-b-y_n,\;\;\text{если }y_n<x_n\end{cases}$

Нетрудно увидеть, что если $a<x_n<y_n$, то $x_{n+1}>y_n$ и т.д.

nnosipov в сообщении #1411049 писал(а):

А, понял, в чем вопрос.

А я нет.

[nnosipov]

Shadow в сообщении #1411098 писал(а):

А я нет.

Рекуррентная формула для $y_n$ не была написана. Теперь она есть, но непонятно, что делать (как вычислять $y_{n+1}$) в случае, когда $x_n=y_n$.

[SiberianSemion]

nnosipov в сообщении #1411103 писал(а):

в случае, когда $x_n=y_n$.

Тогда любая формула подойдет. В любом случае, $x_n,y_n > a,b,$ поэтому новые значения получаются строго больше.

[Shadow]

nnosipov в сообщении #1411103 писал(а):

Рекуррентная формула для $y_n$ не была написана

Я же написал "аналогично $y_n$"

nnosipov в сообщении #1411103 писал(а):

(как вычислять $y_{n+1}$) в случае, когда $x_n=y_n$.

ну да, $y_{n+1}=3x_n-b-y_n, \;\;\text{если } y_n\le x_n$

$\\x_1=a+b\\ y_1=a+b$

$\\x_2=a+b\\ y_2=3(a+b)-b-(a+b)=2a+b$

и т.д. Кстати, при $a\ne b$ получатся две различные серии решений, в зависимости от того что будем увеличивать вначале - x или y. Но о полноты решений речь не идет, только о бесконечности.