обобщенная производная

[phunico]

Помогите!

Пусть $f \in L^2 (R)$, $D_h f = \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}$ и
$\exists M > 0,\,||D_h f|| \le M,\,\,\forall h \in R$
Доказать, что: $f' \in L^2 (R)$ и $||f'||_{L^2 } \le M$
Понятно, что: $f'$ есть обобщенная производная

[AD]

phunico писал(а):

Понятно, что: f' есть обобщенная производная

Это - вывод из условия? Или часть условия? Давайте все-таки аккуратно запишем условие. Никакой $f'$ в формулировке не было. Как я понял:

$f\in L_2$ и $\forall h\in\mathbb{R}$ $\|D_hf\|_{L_2}\le M$ . Нужно доказать, что существует предел $D_hf\xrightarrow[h\to0]{L_2(\mathbb{R})}f'\in L_2(\mathbb{R})$.

То есть $f'$ - это по определению вот тот предел в $L_2$. Так? Или уже дана какая-то функция $f'(x)$, скажем, "обобщенная производная", и нужно доказать, что к ней сходятся $D_hf$?

Добавлено спустя 2 минуты 18 секунд:

А вообще заинтересовало, начинаю думать.

[zoo]

phunico писал(а):

Помогите!

Пусть f \in L^2 (R),D_h f: = \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} и
\exists M > 0,\,||D_h f|| \le M,\,\,\forall h \in R
Доказать, что: f' \in L^2 (R)\ и ||f'||_{L^2 } \le M
Понятно, что: f' есть обобщенная производная

Множество $\{D_hf\}$ слабо компактно в $L^2[a,b]$ следовательно существует последовательность $h_j\to 0$ и функция $g\in L^2[a,b]$ такие, что $(D_{h_j}f,\phi)_{L^2 [a,b]}\to (g,\phi)_{L^2 [a,b]}$ для всех $\phi\in L^2[a,b]$
если $\phi\in \mathcal{D}(\mathbb{R}),\quad \mathrm{supp}\,\phi\subset\subset [a,b]$ то $(D_{h_j}f,\phi)_{L^2(\mathbb{R})}=-(f,D_{h_j}\phi)_{L^2(\mathbb{R})}\to -(f,\phi')_{L^2(\mathbb{R})}$ вне отрезка $[a,b]$ функцию $f$ (временно!) можно продолжить нулем. $\subset\subset$ -- "компактно принадлежит"
Дальше сами:)

[nckg]

Так, допустим, мы доказали, что у $f$ существует об. пр-ная из $L_2$, причём конечные разности $D_hf$сходятся к ней слабо. А как теперь показать, что $D_hf$ сходятся к $f'$ по норме $L_2$?

[zoo]

nckg писал(а):

Так, допустим, мы доказали, что у $f$ существует об. пр-ная из $L_2$, причём конечные разности $D_hf$сходятся к ней слабо. А как теперь показать, что $D_hf$ сходятся к $f'$ по норме $L_2$?

Сами не хотите учиться? Хорошо я Вам предложу несколько нестандартный ход решения. Возмите преобразование Фурье от $D_hf(x)$ и посмотрите, что там в Фурье-образе получится. Ну и теоремы кое-какие про преобразование Фурье придется вспомнить.

[nckg]

Допустим, этот способ (который Вы назвали "нестандартным") я посмотрю, но а каков же тогда "стандартный"? Хотя бы в каком направлении?

[zoo]

nckg писал(а):

Так, допустим, мы доказали, что у $f$ существует об. пр-ная из $L_2$, причём конечные разности $D_hf$сходятся к ней слабо. А как теперь показать, что $D_hf$ сходятся к $f'$ по норме $L_2$?

Имеем: $\widehat{D_h f}(\xi)\to \hat{f'}(\xi)$ -- почти всюду при $h\to 0$
и $\hat{f'}(\xi)\in L^2(\mathbb{R})$ т.к. преобразование Фурье -- $L^2(\mathbb{R})$ переводит в $L^2(\mathbb{R})$.
Отсюда по теореме Лебега об ограниченной сходимости можно показать, что
$\widehat{D_h f}(\xi)\to \hat{f'}(\xi)$ в $L^2(\mathbb{R})$. Теперь надо вспомнить, что преобразование Фурье -- изометрия $L^2(\mathbb{R})$.
зы: Вы не забыли, что за Вами окончание доказательства того, что $f'\in L^2(\mathbb{R})$?

[nckg]

Я немного поковырял Ваше доказательство, если где-то неправ - можете написать.

Цитата:

Имеем: $\widehat{D_h f}(\xi)\to \hat{f'}(\xi)$ -- почти всюду при $h\to 0$

Если $f(x)$ - финитна, то это следует из слабой сходимости конечных разностей (причём сильная сходимость по-моему будет даже не почти всюду, а всюду). А если не финитна?

Цитата:

и $\hat{f'}(\xi)\in L^2(\mathbb{R})$ т.к. преобразование Фурье -- $L^2(\mathbb{R})$ переводит в $L^2(\mathbb{R})$.

это, наверное, теорема Планшереля (Колмогоров-Фомин)
(как и то, что Фурье-преобразование $L_2(\mathbb R)$ - изометрия)

Цитата:

Отсюда по теореме Лебега об ограниченной сходимости можно показать, что
$\widehat{D_h f}(\xi)\to \hat{f'}(\xi)$ в $L^2(\mathbb{R})$.

Ограниченность множества $\{D_hf\}$ в $L_2$ - из условия (ну или из слабой компактности).

Цитата:

Теперь надо вспомнить, что преобразование Фурье -- изометрия $L^2(\mathbb{R})$.

т.к. изометрия, то из сходимости образов следует сходимость прообразов.

Интересное доказательство!

Цитата:

зы: Вы не забыли, что за Вами окончание доказательства того, что $f'\in L^2(\mathbb{R})$?

Это не за мной, а за автором поста Но на мой взгляд это следует из единственности предела $(D_{h_j}f,\phi)_{L^2(\mathbb{R})$.

P.S. "стандартное" доказательство нашёл в книге Михайлова по урчп. (там, правда, рассматривается ограниченная область)

[zoo]

nckg писал(а):

Я немного поковырял Ваше доказательство, если где-то неправ - можете написать.

Цитата:

Имеем: $\widehat{D_h f}(\xi)\to \hat{f'}(\xi)$ -- почти всюду при $h\to 0$

Если $f(x)$ - финитна, то это следует из слабой сходимости конечных разностей (причём сильная сходимость по-моему будет даже не почти всюду, а всюду). А если не финитна?

Это из формулы преобразования Фурье от производной следует и из формулы преобразования Фурье сдвига

nckg писал(а):

Цитата:

Отсюда по теореме Лебега об ограниченной сходимости можно показать, что
$\widehat{D_h f}(\xi)\to \hat{f'}(\xi)$ в $L^2(\mathbb{R})$.

Ограниченность множества $\{D_hf\}$ в $L_2$ - из условия (ну или из слабой компактности).

теорему Лебега Вам надо перечитать

nckg писал(а):

Цитата:

Теперь надо вспомнить, что преобразование Фурье -- изометрия $L^2(\mathbb{R})$.

т.к. изометрия, то из сходимости образов следует сходимость прообразов.

Интересное доказательство!

Цитата:

зы: Вы не забыли, что за Вами окончание доказательства того, что $f'\in L^2(\mathbb{R})$?

Это не за мной, а за автором поста Но на мой взгляд это следует из единственности предела $(D_{h_j}f,\phi)_{L^2(\mathbb{R})$.

P.S. "стандартное" доказательство нашёл в книге Михайлова по урчп. (там, правда, рассматривается ограниченная область)

Это совсем другое дело – ограниченная область

[nckg]

Цитата:

Это из формулы преобразования Фурье от производной следует и из формулы преобразования Фурье сдвига

Насколько я понял, Вы имели в виду такие рассуждения:

$$\lim_{h\to 0} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\lambda x}\frac{e^{i\lambda h}-1}{h}dx = i\lambda \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\lambda x} dx = i\lambda\widehat{f(x)}(\lambda)=\widehat{f'(x)}(\lambda)$$

.
обоснование предельного перехода:

$$|f(x)e^{-i\lambda x}(\frac{e^{i\lambda h}-1}{h} - i\lambda)|\leqslant|f(x)|O(h)\in L_2(\mathbb R)$$

, т.е. инт-л сх. равномерно по $h$.

Цитата:

теорему Лебега Вам надо перечитать

Видимо я криво написал. Для применения теоремы Лебега нам нужна поточечная сходимость и ограниченность последовательности $\{D_hf\}$. Поточечная сходимость установлена выше, а про ограниченность я как раз и писал. А ограниченность множества $\{\widehat{D_hf}\}$ следует из ограниченности $\{D_hf\}$, т.к. преобразование Фурье - изометрия.

Цитата:

Это совсем другое дело – ограниченная область

тогда вопрос о "стандартном" методе доказательства остаётся открытым