Я немного поковырял Ваше доказательство, если где-то неправ - можете написать.
Цитата:
Имеем:

-- почти всюду при

Если

- финитна, то это следует из слабой сходимости конечных разностей (причём сильная сходимость по-моему будет даже не почти всюду, а всюду). А если не финитна?
Цитата:
и

т.к. преобразование Фурье --

переводит в

.
это, наверное, теорема Планшереля (Колмогоров-Фомин)
(как и то, что Фурье-преобразование

- изометрия)
Цитата:
Отсюда по теореме Лебега об ограниченной сходимости можно показать, что

в

.
Ограниченность множества

в

- из условия (ну или из слабой компактности).
Цитата:
Теперь надо вспомнить, что преобразование Фурье -- изометрия

.
т.к. изометрия, то из сходимости образов следует сходимость прообразов.
Интересное доказательство!
Цитата:
зы: Вы не забыли, что за Вами окончание доказательства того, что

?
Это не за мной, а за автором поста

Но на мой взгляд это следует из единственности предела

.
P.S. "стандартное" доказательство нашёл в книге Михайлова по урчп. (там, правда, рассматривается ограниченная область)