Прогрессии

[victort]

Всем доброго времени суток. Недавно я разработал новую формулу для решения прогрессии. Формула простая, поймёт даже школьник-старшеклассник. Но все равно опишу её максимально детально и последовательно. Кто не в теме, почитайте сначала статью "Арифметическая прогрессия" в Википедии или учебник алгебры 9-го класса.
Итак, теория.
Имеется прогрессия вида: $ a, b, c, d... $ (указываю так для своего удобства). Мы можем найти любой её элемент, зная хотя бы один из них и разность прогрессии. Так же мы можем знать два любых элемента, по которым сможем найти разность и, соответственно, остальные элементы.
Моя формула даёт возможность находить элементы прогрессии, зная два крайних элемента и не находя разность.
Известна формула, по которой можно найти единственный элемент, находящийся между двумя известными. Формула аналогична среднему арифметическому и выглядит так:

$$ b=\frac {a+c} 2$$

.
А теперь моя формула для нахождения сразу двух элементов, которые находятся между известными:

$$b=\frac {2a+d} 3, c=\frac {a+2d} 3$$

.
Формула действует для любой арифметической прогрессии.
Аналогичная формула для трёх чисел:

$$b=\frac {3a+e} 4, c=\frac {2a+2e} 4=\frac {a+e} 2, d=\frac {a+3e} 4$$

.

Найдена так же общая закономерность, позволяющая найти сколько угодно чисел. Теперь для удобства сделаем прогрессию вида $ a_0, a_1, a_2, a_3,..., a_n. $
Известны $a_0, a_n$ и n - количество чисел от $a_1$ до $a_n$ включительно. Нужно найти k-элемент:

$$a_k=\frac {a_0(n-k)+a_n(k)} n$$

Уважаемые читатели. Мне хотелось бы узнать, известна ли такая формула или я первый, кто её вывел? А так же попробуйте прогоните формулу по какой-нибудь арифметической прогрессии и опишите результат. Мне важно знать есть ли ошибки в моей теории.
Если ошибок нет и формула была ранее неизвестна, то нужно как-нибудь продвигать её. Думаю, ей самое место в школьных учебниках.

С уважением. Виктор Туранский.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

[Pphantom]

Известна.

[Munin]

Хорошее достижение для школьника-старшеклассника.

(Ошибок нет. "Прогонять" её по конкретным примерам для этого нет надобности.)

[Guvertod]

victort в сообщении #1411050 писал(а):

Думаю, ей самое место в школьных учебниках.

Она там встречается, хотя и не во всех. Во всяком случае, продвинутые школьники ее понимают.

Позвольте узнать, если не секрет, о вашем образовании и о том, как пришли к данному исследованию? (если это не троллинг)

[gris]

У школьников и так много формул для заучивания. Одной тригонометрии хватает. А в заучивании формул нет ничего хорошего. Школьник приучается бездумно подставлять числа в готовые выражения. Обычно, это делают в задачах по физике. В продвинутых учебниках больше приучают к методам решения задач, коих на прогрессии очень много и даже со звёздочкой. (А продвинутому школьнику и методы заучивать нет нужды). По двум членам прогрессии найти произвольный третий, по сумме, разности и прочему найти что угодно. Иногда разность и найти невозможно.
Формулы нужны в программировании. Есть, скажем, расчётная задача на те же прогрессии, решаемая тысячу раз в секунду на протяжении дней и дней. Тут уже нужна формула без лишних операций. Вот у Вас в формуле два умножения, два сложения и одно деление. А если переписать её так, что злополучная разность таки считается промежуточно, то одно умножение, хотя и целочисленнное, заменится на вычитание.
Но результат, конечно, поражает. Вполне можно его в Википедию и записать. Только обобщить на произвольные номера, а не только крайние и промежуточные.

[victort]

Guvertod. Если есть учебники, в которых встречается данная формула, то дайте мне название и автора, чтобы я пришёл в библиотеку и убедился в этом. А то сколько ни вводил эту формулу в Google, так не получил ничего.
У меня среднее образование (11 кл.). А об исследовании просто долго думал. Скажем так, увлечён этим.

[wrest]

victort в сообщении #1411050 писал(а):

Нужно найти k-элемент:

$$a_k=\frac {a_0(n-k)+a_n(k)} n$$

Разделив слагаемые числителя на $n$ и приведя подобные, формулу можно упростить до такой:

$$a_k=a_0+\frac {k}{n}(a_n-a_0)$$

Полагая $d=\dfrac{a_n-a_0}{n}$, получаем $a_k=a_0+kd$

[Connector]

wrest
Упростить, конечно, можно,

gris в сообщении #1411089 писал(а):

А если переписать её так, что злополучная разность таки считается промежуточно, то одно умножение, хотя и целочисленнное, заменится на вычитание.

но суть же была в том, чтобы

victort в сообщении #1411050 писал(а):

находить элементы прогрессии, зная два крайних элемента и не находя разность.

Так что Вы сейчас просто вывели формулу ТС из более известной.

[Munin]

victort
Куда можно было бы обобщить ваши исследования.
1. Сейчас ваша формула позволяет найти член арифметической прогрессии, находящийся между двумя уже известными. Но может быть так, что требуется найти член прогрессии снаружи от этого промежутка. Скажем, известны 2-й и 5-й члены, а надо найти 7-й. Как поступить?
2. В вашей формуле подразумевается, что $k$ и $n$ - целые числа. Можно подумать о нарушении этого правила. Что если хочется найти член прогрессии с дробным номером? Какой этому можно придать смысл? (Здесь может встретиться стыковка с понятием линейной интерполяции.)
3. Если нам известны не два, а три члена прогрессии, то формула допускает бо́льшую свободу. Можно попробовать описать её.
4. Можно ли на основании этого метода получить аналогичную формулу для геометрической прогрессии?

[victort]

Munin
На четвёртый вопрос отвечаю сразу. Формула для геометрической прогрессии мной уже выведена. Писать сразу не стал, так как подозревал, что читатели не будут готовы к этому. Итак, вот формула:
$a_k=\sqrt[n]{a^{n-k}b^k}$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

[victort]

Munin
Вчера немного коряво написал формулу. Итак, формула для геометрической прогрессии точнее выглядит так:
$a_k=\sqrt[n]{a_0^{n-k}a_n^k}$
А теперь, пока никто не опередил, привожу ее доказательство. Известную формулу нахождения $a_n$ через знаменатель $q$:
$a_n=a_0q^n$
подставляем в мою формулу:
$a_k=\sqrt[n]{a_0^{n-k}(a_0q^n)^k}=\sqrt[n]{a_0^nq^{kn}}=a_0q^k$

На 1 вопрос ответ очевиден. Формула действует для элементов прогрессии вне известных. Нужно только правильно подставлять числа.
3 вопрос не требует ответа, т.к. для расчетов достаточно двух элементов.