2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 индуцированный оператор внутренности
Сообщение15.08.2019, 23:37 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
Вопрос скорее праздный. Как известно, для каждого множества $X$, топологии в виде системы открытых множеств $\tau$ на $X$, множества $Y$, функции $f:X\to Y$ есть топология $\sigma$ на $Y$, равная $\{V\mid V\subseteq Y; f^{-1}(V)\in \tau\}$, которая называется индуцированной. Она имеет красивые свойства, но сейчас не об этом. Как выразить соответствующую конструкцию для операторов внутренности? Понятно, что можно превратить оператор внутренности в топологию, индуцировать и превратить топологию в оператор внутренности. Есть ли более простое выражение?

 Профиль  
                  
 
 Re: индуцированный оператор внутренности
Сообщение16.08.2019, 17:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
beroalТолько как $$
\operatorname{Int}A=\bigcup\{B\subset A:f^{-1}(B)\in\tau\}.
$$
Ведь всё завязано на отображение $f$.

 Профиль  
                  
 
 Re: индуцированный оператор внутренности
Сообщение16.08.2019, 17:33 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
alcoholist в сообщении #1410773 писал(а):
beroalТолько как $$
\operatorname{Int}A=\bigcup\{B\subset A:f^{-1}(B)\in\tau\}.
$$

У меня то же самое выражение получилось. Получается, это одно из преимуществ характеризации топологии через открытые множества.

 Профиль  
                  
 
 Re: индуцированный оператор внутренности
Сообщение17.08.2019, 23:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
beroal в сообщении #1410781 писал(а):
Получается, это одно из преимуществ характеризации топологии через открытые множества.

Это скорее следствие того, что внутренность -- максимальное открытое множество, содержащееся в данном))

Или у вас вопрос не о том, а вот об этом?$$
\operatorname{Int}_YA=\bigcup\left\{B\subset A: \operatorname{Int}_X\left(f^{-1}(B)\right)=f^{-1}(B)\right\}.
$$

Формула $f\left(\operatorname{Int}_Xf^{-1}(A)\right)\subset\operatorname{Int}_YA$ не оставляет надежд на прямое определение внутренности в индуцированной топологии.
Показательный пример: $X$ с антидискретной топологией и постоянным отображением $f$.

 Профиль  
                  
 
 Re: индуцированный оператор внутренности
Сообщение18.08.2019, 14:12 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
alcoholist в сообщении #1410993 писал(а):
Формула $f\left(\operatorname{Int}_Xf^{-1}(A)\right)\subset\operatorname{Int}_YA$ не оставляет надежд на прямое определение внутренности в индуцированной топологии.

Этого я не понял. Вы хотите сказать, что эта формула истинна для индуцированной топологии? Но есть контрпример. Пусть $X=\{0, 1, 2\}$, $\tau = \{\varnothing, \{2\}, X\}$, $Y=\{0, 1\}$, $f = \{(0, 0), (1, 1), (2, 1)\}$. Тогда топология, индуцированная $\tau$ вдоль $f$ на $Y$, антидискретна. Если $A=\{1\}$, $\operatorname{Int}_Xf^{-1}(A) = \{2\}$, $f\left(\operatorname{Int}_Xf^{-1}(A)\right) = \{1\}$, $\operatorname{Int}_YA = \varnothing$.

 Профиль  
                  
 
 Re: индуцированный оператор внутренности
Сообщение18.08.2019, 14:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
beroal в сообщении #1411021 писал(а):
есть контрпример
Да, я поторопился. Ну так тем более связь операторов внутренности ограничивается только
alcoholist в сообщении #1410993 писал(а):
$$
\operatorname{Int}_YA=\bigcup\left\{B\subset A: \operatorname{Int}_X\left(f^{-1}(B)\right)=f^{-1}(B)\right\}.
$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group