индуцированный оператор внутренности

[beroal]

Вопрос скорее праздный. Как известно, для каждого множества $X$, топологии в виде системы открытых множеств $\tau$ на $X$, множества $Y$, функции $f:X\to Y$ есть топология $\sigma$ на $Y$, равная $\{V\mid V\subseteq Y; f^{-1}(V)\in \tau\}$, которая называется индуцированной. Она имеет красивые свойства, но сейчас не об этом. Как выразить соответствующую конструкцию для операторов внутренности? Понятно, что можно превратить оператор внутренности в топологию, индуцировать и превратить топологию в оператор внутренности. Есть ли более простое выражение?

[alcoholist]

beroalТолько как

$$ \operatorname{Int}A=\bigcup\{B\subset A:f^{-1}(B)\in\tau\}. $$

Ведь всё завязано на отображение $f$.

[beroal]

alcoholist в сообщении #1410773 писал(а):

beroalТолько как

$$ \operatorname{Int}A=\bigcup\{B\subset A:f^{-1}(B)\in\tau\}. $$

У меня то же самое выражение получилось. Получается, это одно из преимуществ характеризации топологии через открытые множества.

[alcoholist]

beroal в сообщении #1410781 писал(а):

Получается, это одно из преимуществ характеризации топологии через открытые множества.

Это скорее следствие того, что внутренность -- максимальное открытое множество, содержащееся в данном))

Или у вас вопрос не о том, а вот об этом?

$$ \operatorname{Int}_YA=\bigcup\left\{B\subset A: \operatorname{Int}_X\left(f^{-1}(B)\right)=f^{-1}(B)\right\}. $$

Формула $f\left(\operatorname{Int}_Xf^{-1}(A)\right)\subset\operatorname{Int}_YA$ не оставляет надежд на прямое определение внутренности в индуцированной топологии.
Показательный пример: $X$ с антидискретной топологией и постоянным отображением $f$.

[beroal]

alcoholist в сообщении #1410993 писал(а):

Формула $f\left(\operatorname{Int}_Xf^{-1}(A)\right)\subset\operatorname{Int}_YA$ не оставляет надежд на прямое определение внутренности в индуцированной топологии.

Этого я не понял. Вы хотите сказать, что эта формула истинна для индуцированной топологии? Но есть контрпример. Пусть $X=\{0, 1, 2\}$, $\tau = \{\varnothing, \{2\}, X\}$, $Y=\{0, 1\}$, $f = \{(0, 0), (1, 1), (2, 1)\}$. Тогда топология, индуцированная $\tau$ вдоль $f$ на $Y$, антидискретна. Если $A=\{1\}$, $\operatorname{Int}_Xf^{-1}(A) = \{2\}$, $f\left(\operatorname{Int}_Xf^{-1}(A)\right) = \{1\}$, $\operatorname{Int}_YA = \varnothing$.

[alcoholist]

beroal в сообщении #1411021 писал(а):

есть контрпример

Да, я поторопился. Ну так тем более связь операторов внутренности ограничивается только

alcoholist в сообщении #1410993 писал(а):

$$ \operatorname{Int}_YA=\bigcup\left\{B\subset A: \operatorname{Int}_X\left(f^{-1}(B)\right)=f^{-1}(B)\right\}. $$