Теорема Больцано-Коши

[oleg.k]

Я попытался доказать теорему Больцано-Коши о промежуточном значении функции, но доказательство получилось уж совсем какое-то простое (и не такое, как в учебнике).

Теорема.
Дана функция $f: E\to \mathbb{R}$ $(E\subset \mathbb{R})$ и отрезок $[a, b] \subset E$. Функция непрерывна на интервале $(a, b)$, непрерывна справа в точке $a$ и непрерывна слева в точке $b$. На концах отрезка $[a, b]$ функция принимает значения $f(a) = A$ и $f(b) = B$. Без ограничения общности можно считать, что $A < B$. Выберем любое число C принадлежащее интервалу $(A, B)$. Тогда найдется число $c \in (a, b)$ такое, что $f(c) = C$.

Доказательство.
Я воспользовался методом от противного. Предположим, что существует некоторая функция $f$, удовлетворяющая всем условиям теоремы, и некоторое число $C_0\in (A, B)$ такое, что $\forall x \in (a, b)$ выполняется либо $f(x) > C_0$, либо $f(x) <C_0$. На концах отрезка $[a, b]$ функция так же не принимает значение $C_0$, следовательно можно утверждать, что $\forall x \in [a, b]$ выполняется либо $f(x) > C_0$, либо $f(x) <C_0$. Каждой точке $x \in [a, b]$ поставим в соответствие некоторую симметричную окрестность $U_ \varepsilon (x)$ этой точки, такую что $\forall x \in (U_ \varepsilon (x)\cap [a, b])$ выполняется одно из двух: либо $f(x) > C_0$, либо $f(x) <C_0$ (это можно сделать, учитывая условия, связанные с непрерывностью функции). Получили бесконечную систему интервалов, покрывающую отрезок $[a, b]$. По лемме Бореля-Лебега выберем конечную подсистему, также покрывающую этот отрезок. Здесь надо отметить, что, вообще говоря, в выбранной конечной подсистеме могут встретиться такие две окрестности, одна из которых является собственным подмножеством другой. Удалим из нашей системы все такие "маленькие" окрестности (которые полностью содержатся в некоторой другой). Такая система все равно будет покрывать отрезок. Центры этих окрестностей образуют некоторое конечное подмножество точек из отрезка $[a, b]$. Окрестности, которая соответствует меньшей точке, присвоим номер 1. Окрестности, соответствующей точке, которая следует за первой, присвоим номер 2 и так далее. Любые две "соседние" окрестности пересекаются. Более того, если в некоторой точке на пересечении какой-то окрестности и отрезка $[a, b]$ функция принимает значение, меньшее (большее) $C_0$, то и во всех точках на пересечении этой окрестности и отрезка $[a, b]$ функция будет принимать значения, меньшие (большие) $C_0$. Первая окрестность содержит точку $a$, следовательно $\forall x \in (U_1 \cap [a, b])$ будет выполняться $f(x) < C_0$. Вторая окрестность имеет непустое пересечение с первой, следовательно $\forall x \in (U_2 \cap [a, b])$ будет выполняться $f(x) < C_0$ и так далее. Получилось, что, какую бы окрестность $U_n$ мы бы ни взяли, $\forall x \in (U_n \cap [a, b])$ будет выполняться $f(x) < C_0$, что очевидно противоречит с тем, что последняя окрестность покрывает точку $b$ и $f(b) > C_0$.

Все верно?

[vpb]

oleg.k в сообщении #1410977 писал(а):

Любые две "соседние" окрестности пересекаются

Это утверждение нуждается в доказательстве (если оно вообще верно ... я что-то на ночь глядя не вижу). А в остальном верно.

[oleg.k]

vpb в сообщении #1410979 писал(а):

Это утверждение нуждается в доказательстве (если оно вообще верно ... я что-то на ночь глядя не вижу).

Предположим, что нашлась пара "соседних" окрестностей, которые не пересекаются. Будем одну окрестность называть "левой", а другую "правой". Смотрим на супремум $(s)$ "левой" окрестности и на инфимум $(i)$ "правой" окрестности. Если $s < i$, то все очевидно: найдется точка отрезка, которую система не покрыла. Если $s = i$, то эта самая точка не принадлежит обеим окрестностям (окрестности же открыты, значит максимального/минимального элемента у них нету, значит супремумы и инфимумы не принадлежат им). Ну а если $i < s$, то окрестности пересекаются (например, в точке $\frac{(s +i)}{2}$) и все в порядке

[Xaositect]

oleg.k в сообщении #1410981 писал(а):

Если $s < i$, то все очевидно: найдется точка отрезка, которую система не покрыла.

Надо еще доказать, что эти точки не покрываются какой-то еще окрестностью.

[oleg.k]

Xaositect в сообщении #1410983 писал(а):

Надо еще доказать, что эти точки не покрываются какой-то еще окрестностью.

В той системе интервалов, покрывающей $[a, b]$ которая в конце концов получилась, нету окрестностей, у которых совпадали бы центры. В самом деле, предположим, что все же некоторая пара таких окрестностей оказалась. Радиус одной из окрестностей обозначим за $r_1$, радиус другой обозначим за $r_2$. Возможны три варианта.
1. $r_1 < r_2$ В таком случае одна окрестность будет целиком содержаться в другой, а такого быть не может, т.к. такие окрестности были исключены.
2. $r_1 > r_2$ Аналогично как и в п.1
3. $r_1 = r_2$ Окрестности тождественны. Система, покрывающая отрезок - множество. В множестве не может быть 2 тождественных элемента.

Теперь про точку, которая не покрыта. Рассмотрим сначала случай $s < i$
Очевидно, ни "левая" $U_l$, ни "правая" $U_r$ окрестности не покрывают точку $t = \frac{s + i}{2}$. Ее и рассмотрим. Докажем, что никакая окрестность системы не покрывает эту точку.
Пусть точка $o_1$ - центр "левой" окрестности, а точка $o_2$ - центр правой окрестности. В системе нету окрестности, центр которой лежал бы в отрезке $[o_1, o_2]$. Поэтому, если нашу точку $t$ какая-то окрестность $U_t$ и покрывает, то координата $o_3$ ее центра либо строго больше $o_2$, либо строго меньше $o_1$.
1. $o_3 > o_2$. В этом случае $\inf U_t < t < \inf U_r < o_2 < o_3$. Очевидно, что $U_r \subset U_t$ Получили противоречие.
2. $o_3 < o_1$ В этом случае $o_3 < o_1 < \sup U_l < t < \sup U_t$. Очевидно, что $U_l \subset U_t$ Опять получили противоречие.
Таким образом, точка $t$ не покрыта никакой окрестностью.

Теперь рассмотрим случай $s = i$. В таком случае непокрытой остается точка $t = s = i$. Рассуждаем аналогично.
1. $o_3 > o_2$. В этом случае $\inf U_t < t = \inf U_r < o_2 < o_3$ Очевидно, что $U_r \subset U_t$ Получили противоречие.
2. $o_3 < o_1$ В этом случае $o_3 < o_1 < \sup U_l = t < \sup U_t$. Очевидно, что $U_l \subset U_t$ Опять получили противоречие.

Таким образом, существует точка $t$ отрезка, которую не покрывает никакой интервал из системы.

[wrest]

oleg.k в сообщении #1410981 писал(а):

окрестности же открыты, значит максимального/минимального элемента у них нету, значит супремумы и инфимумы не принадлежат им

Кроме первой и последней, да? Вы же их вроде обрезали по границам $[a;b]$

[oleg.k]

wrest в сообщении #1413553 писал(а):

Кроме первой и последней, да? Вы же их вроде обрезали по границам $[a;b]$

Я же там написал

oleg.k в сообщении #1410981 писал(а):

Будем одну окрестность называть "левой", а другую "правой". Смотрим на супремум $(s)$ "левой" окрестности и на инфимум $(i)$ "правой" окрестности.

Вообще говоря, надо бы уточнить, что Вы спрашиваете. Окрестности всегда открыты, в том числе и крайние. Но если Вы имеете в виду множества $(U_ \varepsilon (x)\cap [a, b])$, то "крайние" множества (т.е. пересечение отрезка и крайней окрестности) будут ограничены. Но ограничены они будут с тех сторон, которые нам не интересны. В любом случае, это доказательство не очень удачное. То, которое я впоследствии увидел у Фихтенгольца (через супремум, а не вложенные отрезки) имхо гораздо лучше. Так что эта тема для меня уже не актуальна.

[ewert]

Самое интересное, что вся эта возня с соображениями компактности чуть более чем бессмысленна. Естественно, теорему Больцано--Коши следует доказывать исключительно методом половинного деления -- и никак иначе.

Нет, я понимаю, конечно, что есть эстетические соображения. Если есть возможность потратить на доказательство пятьдесят строчек -- не следует такой возможностью пренебрегать; за пятистрочное доказательство ведь никто уважать не будет. Занудство -- дело тоже не последнее; чем больше умных терминов притянешь, особенно за уши, тем и почтения больше. Нет, я всецело за эстетику.

Только в данном случае вся эстетика напрочь разбивается об одно сугубо практическое обстоятельство. Метод половинного деления мало того, что лаконичен (понятно, что осилить 50 строк куда легче, чем 5). Важнее то, что он ещё и исключительно конструктивен -- он даёт не только доказательство существования корня, но и вполне работоспособный алгоритм его нахождения.