2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Об измеримости интегралов специального вида
Сообщение17.08.2019, 12:06 


09/11/12
210
Донецк
Уважаемые коллеги есть два принципиально важных вопроса, которые я очень хотел бы обсудить с Вами.

Прежде всего, приведу определения, необходимые для их формулировки. Определим гиперболическое расстояние между точками $x, y\in {\Bbb B}^n$ единичного шара ${\Bbb B}^n:=\{x\in {\Bbb R}^n: |x|<1\}$ согласно соотношению $h(x, y)=\log\,\frac{1+t}{1-t}\,,$ где $t=\frac{|x-y|}{\sqrt{|x-y|^2+(1-|x|^2)(1-|y|^2)}}\,.$ Теперь, введём гиперболическую $n-1$-мерную хаусдорфову меру $\mathcal{H}^{n-1}_{h}(A)$ множества $A\subset {\Bbb B}^n$ согласно формул: $$\mathcal{H}^{n-1}_{h}(A):=\sup_{\varepsilon>0}\mathcal{H}^{n-1}_{h,\varepsilon}\,,$$ где
$$\mathcal{H}^{n-1}_{h,\,\varepsilon}(A):= \Omega_{n-1}2^{\,-{(n-1)}}
\inf\sum^{\infty}_{i=1}\left(h(A_i)\right)^{n-1},$$
$\Omega_{n-1}$ -- $(n-1)$-мерная лебегова мера единичного шара ${\Bbb B}^{n-1}$ в ${\Bbb R}^{n-1}.$
Пусть $Q$ -- неотрицательная измеримая в ${\Bbb B}^n$ функция относительно обычной лебеговой меры. Для $0<r<\infty$ обозначим $S_h(0, r)$ гиперболическую сферу с центром в нуле радиуса $r$ т.е., $S_h(0, r)=\{x\in {\Bbb B}^n: h(x, 0)=r\}.$ Пусть $\psi(r)=\int\limits_{S_h(0, r)}Q(x)d\mathcal{H}^{n-1}_{h}.$
(При заданном условии на $Q$ её измеримость относительно $\mathcal{H}^{n-1}_{h}$ сравнительно легко доказать. Хорошо известно, что замкнутые множества измеримы относительно любых Хаусдоровых мер, так что $S_h(0, r)$ измеримо относительно $\mathcal{H}^{n-1}_{h}$).

Вопрос 1. Будет ли функция $\psi(r)$ измерима по $r\in (0, \infty)$ ?

Вопрос 2. Верен ли "гиперболический" вариант теоремы Фубини:

$$\int\limits_{B_h(0, r_0)}Q(x)dv(x)=\int\limits_{0}^{r_0}\int\limits_{S_h(0, r)}Q(x)\mathcal{H}^{n-1}_{h}dr,$$ где $0<r_0<\infty$ и $dv(x)=\frac{2^n\, dm(x)}{{(1-|x|^2)}^n},$ $dm(x)$ -- элемент обычной лебеговой меры. Меня, прежде всего, интересует случай $n\geqslant 3,$ так как при $n=2$ это относительно простые и известные вещи.

Также хотел бы уточнить, не видел ли кто-либо в литературе (интернете) выражение элемента площади $\mathcal{H}^{n-1}_{h}$ в терминах обычной, евклидовой меры $\mathcal{H}^{n-1}$ (подобно тому, как для гиперболического объёма, как написано выше, $dv(x)=\frac{2^n\, dm(x)}{{(1-|x|^2)}^n}$) ?

Буду очень благодарен Вам за любые комментарии !

 Профиль  
                  
 
 Re: Об измеримости интегралов специального вида
Сообщение17.08.2019, 15:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Evgenii2012 в сообщении #1410904 писал(а):
Теперь, введём гиперболическую $n-1$-мерную хаусдорфову меру $\mathcal{H}^{n-1}_{h}(A)$ множества $A\subset {\Bbb B}^n$ согласно формул: $$\mathcal{H}^{n-1}_{h}(A):=\sup_{\varepsilon>0}\mathcal{H}^{n-1}_{h,\varepsilon}\,,$$ где
$$\mathcal{H}^{n-1}_{h,\,\varepsilon}(A):= \Omega_{n-1}2^{\,-{(n-1)}}
\inf\sum^{\infty}_{i=1}\left(h(A_i)\right)^{n-1},$$

Какое-то "криво-сделанное" определение меры. Нет описаний некоторых используемых в этом определении объектов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об измеримости интегралов специального вида
Сообщение17.08.2019, 17:35 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Да, в этом определении явно не хватает каких-то слов и объяснений. Например, что такое $A_i$ и $h(A_i)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об измеримости интегралов специального вида
Сообщение17.08.2019, 18:26 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
vpb в сообщении #1410933 писал(а):
такое $A_i$ и $h(A_i)$.

Ну, если ТС работает с хаусдорфовой мерой, то , видимо, рассматриваются произвольные покрытия измеряемого множества шарами радиусов $A_i <\varepsilon $....
И -так кажется - мера у ТС получится какя то стандартная совсем, типа, индуцированная гиперболической метрикой....

(Оффтоп)

Проверять, видимо, можно по такому плану: убедиться в правде для шариков с центром в нуле, и сослаться на инвариантность мер относительно соответствующей гиперболической группы (буде таковая есть).

 Профиль  
                  
 
 Re: Об измеримости интегралов специального вида
Сообщение17.08.2019, 21:08 


09/11/12
210
Донецк
Дорогие друзья, большое спасибо за Ваши замечания. Действительно, я должен кое-что уточнить: $A\subset \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i,$ где $A_i$ -- множества, имеющие гиперболический диаметр $h(A_i):=\sup\limits_{x, y\in A_i}h(x, y),$ меньший $\varepsilon.$ Согласно, например, [Hurewicz W., Wallman H.: Dimension Theory. Princeton Univ. Press, Princeton, NJ (1948)], глава VII, страница 103, либо [Martio O., Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov
E. Moduli in Modern Mapping Theory. -- New York: Springer Science + Business Media, LLC, 2009], страница 177, множества $A_i$ открытыми быть не обязаны (!), что, впрочем, вероятно, принципиальным не является

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group