Пространство Минковского

[sergey zhukov]

Значит, если сфотографировать (издалека, перпендикулярно плоскости вращения) вращающееся колесо на неподвижной оси, то на фото получится колесо, не отличимое от покоящегося?

[Guvertod]

sergey zhukov
На практике будут деформации материала.

[sergey zhukov]

Я так понимаю, задача вращающегося колеса (парадокс Эренфеста) вообще не решается чисто кинематически? Необходимо привлекать какие-то гипотезы о поведении материала?
Раз так или иначе будут деформации материала, почему наблюдатель на оси может считать колесо абсолютно твердым телом?

[Guvertod]

sergey zhukov
Нет, парадокс Эренфеста это "парадокс" чисто на уровне релятивистских кинематических эффектов, решение связано с нетривиальной геометрией в НСО.
Про материал - это если задавать вопрос, что будет с реальным колесом машины при разгоне его до релятивистских скоростей.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1410197 писал(а):

приведен вид катящегося колеса со спицами

Есть даже анимашки такого колеса. Картинка правильная. Вам надо научиться рассчитывать это самому.

[sergey zhukov]

Я это уже считал в дискретном варианте (картинка, разбитая на точки). С переходом от абсолютно твердого вращающегося колеса к этой картинке мне все ясно. Я только не был уверен, что вращающееся колесо с неподвижной осью можно представлять абсолютно твердым. Откуда это следует? Просто из симметрии задачи? Я постоянно слышу, что в СТО нет абсолютно твердых тел.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1410225 писал(а):

Я только не был уверен, что вращающееся колесо с неподвижной осью можно представлять абсолютно твердым.

Только пока вы не меняете скорость вращения.

Например, можно вообразить себе, что его изначально построили уже вращающимся. Тогда оно может быть свободно от внутренних напряжений.

sergey zhukov в сообщении #1410225 писал(а):

Я постоянно слышу, что в СТО нет абсолютно твердых тел.

Это верно, если рассматривать динамику. Однако здесь пока речь только о кинематике.

[sergey zhukov]

Munin в сообщении #1410228 писал(а):

Например, можно вообразить себе, что его изначально построили уже вращающимся

В таком случае мы просто постулируем, что наблюдатель на оси имеет дело с телом, снимок которого выглядит, как покоящееся колесо (а последовательность снимков - как вращающееся колесо). И совершенно не очевидно, что это за тело в системе координат, в котором оно действительно покоится.
Например: не вращающийся шар движется со скоростью $U$ относительно неподвижного наблюдателя, а второй наблюдатель рассматривает этот же шар из системы, движущейся со скоростью $U/2$. Шар в системе второго наблюдателя все еще не находится в покое (как и вращающееся колесо), но он игнорирует это и считает, что теперь уже можно использовать для описания его движения преобразования галилея. Почему? Потому, что шар "изначально построили уже движущимся" таким образом, что он выглядел круглым в системе наблюдателя $U/2$. Такие рассуждения просто означают, что в системе неподвижного наблюдателя это тело в покое имеет форму эллипсоида, а не шара.
Т.е. на приведенной выше картинке не разогнанное колесо, а некоторое разогнанное тело, которое в системе наблюдателя на его оси выглядит, как галилеево вращающееся колесо (по определению). Но ведь такое тело вообще может не существовать.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1410288 писал(а):

В таком случае мы просто постулируем, что наблюдатель на оси имеет дело с телом, снимок которого выглядит, как покоящееся колесо (а последовательность снимков - как вращающееся колесо).

Да.

sergey zhukov в сообщении #1410288 писал(а):

И совершенно не очевидно, что это за тело в системе координат, в котором оно действительно покоится.

А вот такой системы координат (в СТО) просто нет. И не надо пытаться её воображать. Всё равно до изучения ОТО (намного более сложной теории) заранее ничего не выйдет. А неудачные попытки могут запомниться, и потом мешать изучению правильной системы понятий.

sergey zhukov в сообщении #1410288 писал(а):

Т.е. на приведенной выше картинке не разогнанное колесо, а некоторое разогнанное тело, которое в системе наблюдателя на его оси выглядит, как галилеево вращающееся колесо (по определению). Но ведь такое тело вообще может не существовать.

Верно, именно такое тело. Оно может не существовать, но может и существовать, и стандартная задача по СТО состоит в том, чтобы предположить, что оно существует, и описать его.

И задача эта, я повторяю, чисто кинематическая. Речь просто о том, чтобы суметь преобразовать заданные мировые линии (спиральные) в новую систему отсчёта.

Разумеется, это колесо нафиг никому не сдалось, но умение переходить в другие системы отсчёта полезно для других расчётов СТО - реально нужных. Основное применение СТО - это преобразования различных 4-векторов, например, энергий-импульсов сталкивающихся и распадающихся частиц.

Есть на эту тему полезная и доступная даже школьникам книжка
Копылов. Всего лишь кинематика. (Библиотечка Квант - 11).

[sergey zhukov]

Да, книжка хорошая. Особенно интересно показан принцип неопределенности $\Delta t\Delta E$ на примере обнаружения очень короткоживущих резонансов. Еще интересно, что автор всюду пользуется релятивистской массой и независимыми законами сохранения энергии и импульса, при этом совсем не упоминает о релятивистских сокращениях и замедлениях. Это делает кинематику в его изложении почти ньютоновской и очень понятной.
Похоже, что понятие релятивистской массы раньше было очень популярно (поперечная и продольная масса), но затем от него отказались в пользу записи в виде 4-векторов и инвариантной массы покоя. Релятивистская масса позволяет оставаться в рамках трехмерного представления, но для этого масса должна стать тензорной величиной. Например, Угаров В.А. в своей книге "Специальная теория относительности" пишет:

Цитата:

В ньютоновской механике массу тела можно было определить по отношению величины силы к величине сообщаемого ею телу ускорения. Если аналогичным образом определить массу в релятивистской механике, мы придем к тензору масс

Действительно ли введение вместо массы тензора масс, зависимого от скорости - это все, что нужно, чтобы получить трехмерную формулировку СТО? В этой же книге сказано:

Цитата:

Известно, что в качестве первых принципов СТО можно взять не два постулата Эйнштейна, а, например, его первый постулат и зависимость массы от скорости. Формально можно построить СТО и на такой основе.

Я понял, что Угаров против этого, но не вполне понял, почему. Потому, что это не стыкуется с ОТО?

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1410965 писал(а):

Это делает кинематику в его изложении почти ньютоновской

Это сигнал, что вы (почти) ничего не поняли.

sergey zhukov в сообщении #1410965 писал(а):

Похоже, что понятие релятивистской массы раньше было очень популярно (поперечная и продольная масса)

Среди физиков никогда. (Только среди экспериментаторов в самом начале 20 века, в промежутке буквально одного-двух десятилетий.)

Если вы не читали статьи Окуня, обязательно прочитайте:

GAA в сообщении #737298 писал(а):

Это надо знать!
О релятивистской массе, почему масса фотона 0, почему формулы в школьных учебниках неправильные
Окунь Л. Б. Понятие массы (Масса, энергия, относительность). Методическая заметка. УФН 158 (3) 511–530 (1989) - http://ufn.ru/ru/articles/1989/7/f/

(скачать можно по названию в гугле).

sergey zhukov в сообщении #1410965 писал(а):

Действительно ли введение вместо массы тензора масс, зависимого от скорости - это все, что нужно, чтобы получить трехмерную формулировку СТО?

Нет, это полный бред. "Трёхмерной формулировки СТО" не бывает.

sergey zhukov в сообщении #1410965 писал(а):

Например, Угаров В.А. в своей книге "Специальная теория относительности"

Не самая лучшая книжка. Хорошие книги вам рекомендовали, и не известно, почему вы их не читаете.

sergey zhukov в сообщении #1410965 писал(а):

Я понял, что Угаров против этого, но не вполне понял, почему. Потому, что это не стыкуется с ОТО?

И не поймёте, вы пока слишком начинающий.

[arseniiv]

sergey zhukov в сообщении #1408099 писал(а):

Галилеево пространство-время - это четырехмерное пространство-время с сигнатурой (++++)?

Нет, (+000), но при этом этого уже оказывается недостаточно, потому что надо ввести расстояния на пространственных слоях: на каждом слое будет квадратичная форма с сигнатурой (+++). Объединить это всё как-то в одну квадратичную форму не получится.

-- Пн авг 19, 2019 16:37:40 --

Munin в сообщении #1409830 писал(а):

Левая картинка очень извращённая, но в принципе нормальная.

А мы уже советовали рисовать «ковекторы по Бёрке»? Самый же случай.

[sergey zhukov]

Munin в сообщении #1410971 писал(а):

Если вы не читали статьи Окуня, обязательно прочитайте:

Интересно. Как я понял, понятие "релятивистская масса" (РМ) неудачно потому, что ни одно свойство РМ не соответствует свойствам массы в классической механике (КМ):

1. РМ не инвариант в разных системах отсчета (в КМ - инвариант);
2. РМ не аддитивна (в КМ аддитивна);
3. РМ не является коэффициентом пропорциональности между силой и ускорением (в КМ - является);
4. РМ не является мерой гравитационного взаимодействия тел (в КМ - является).

Отсюда вывод, что РМ - это как минимум нечто, не имеющее отношение к массе. Хотя не соответствие изначальному определению - это не препятствие. Метрика Минковского тоже не отвечала ни одному свойству метрики Евклида, и тем не менее это не помешало назвать ее именно метрикой. Мне кажется, что главным доводом против РМ является то, что существует более простое, более общее и естественное геометрическое представление. Каким бы странным оно ни казалось поначалу, оно является самым правильным (а РМ только кажется проще, а на самом деле все усложняет). Т.е. главное возражение все же такое:

Цитата:

Теория относительности проста и прекрасна, а ее изложение на языке двух масс запутано и безобразно

Мне РМ тоже не нравится, потому что "зависимость массы от скорости" - это совершенно не то же самое, что "движение тела переменной массы", а эта вроде бы простая аналогия как раз и является главной причиной желания ввести РМ. Это гораздо сложнее, и на поверку оказывается, что такое представление вообще ничего не дает. Хотя оно и возможно. Я было удивился, узнав, что тело массой $m$ можно разогнать постоянной силой $F$ до скорости света за время $t=\frac{pm_0}{2Fc}$ (Тут опечатка? Должно быть, по моему $t=\frac{\pi m_0c}{2F}$), но потом понял, что это пример как раз неправильного расчета для $m\sim\gamma m_0$, а не для $m\sim\gamma^3 m_0$

Я тут думал над тем, почему в КМ очевиден "срез", в котором происходит вычисление траекторий тел во времени, а в СТО это как-то туманно. Т.е. как устроено последовательное вычисление картины мировых линий? Обычно их рисуют так, что они просто уже заданы. Вот что у меня получилось:

На рис.1 последовательное вычисление траекторий двух взаимодействующих тел в классической механике. Продолжение траектории $dA$, как и $dB$, зависит от точек $A$ и $B$.
На рис.2 в СТО $dA$ зависит от точек $A$ и $B'$, а $dB$ - от точек $A'$ и $B$. Это приводит к тому, что вычисление мировых линий может быть выполнено разными (дающими один результат, конечно) способами. Например, стартуя из положения на рис.2 можно последовательно вычислить либо конечный участок мировой линии В (рис.3), либо конечный участок мировой линии А (рис.4). Можно вычислять эти линии и параллельно. В любом случае никакого определенного "среза" в процессе вычислений не получается, т.к. его положение неоднозначно.
Световые линии $AB'$ и $A'B$ связывают события, которые (в случае двух тел) однозначно определяют поведение мировой линии далее точек $A$ и $B$. Т.е. эти линии аналогичны таковым на рис.1, где они связывают события $A$ и $B$, так же определяющие поведение траекторий дальше точек $A$ и $B$. Преобразования Лоренца (взгляд разных инерциальных наблюдателей) должны сохранять связь между событиями с помощью светоподобных линий. Поэтому эти преобразования сводятся к сжатию вдоль одной из светоподобных линий и растяжению вдоль другой. Коэффициенты сжатия и растяжения должны быть равны, чтобы выполнялся принцип равноправия инерциальных наблюдателей.
Взаимодействие между телами, например, сила, должно быть выражено четырехмерным вектором потому, что события мировых линий, которые одновременно нужно подставлять в уравнение для вычисления их дальнейшего поведения, не происходят одновременно ни в одной из систем отсчета обоих тел.
Насколько такое представление далеко от действительности?

[sergey zhukov]

Решал задачу про частицу, падающую вертикально в некотором однородном силовом поле (одномерная задача). Допустим, это поле тяготения (все плоское, никаких искривлений).
Математически тут проблем вроде нет, но мне был не очень понятен смысл 4-векторов. Попробовал нарисовать это движение геометрически ($c=1 m=1$). Гиперболическое движение - на верхней кривой:

Обычные 3-векторы положения, скорости, силы, ускорения и импульса имеют только пространственные компоненты. В нашем одномерном случае это значит, что все эти векторы откладываются только вертикально. 4-векторы имеют еще одну временную компоненту, поэтому в нашем плоском случае они могут иметь различное направление и величину на плоскости $(t;x)$.
4-скорость $U^i=\gamma c(1;U_x/c)$ имеет временную компоненту $1$, т.е. 4-скорость в отсутствии движения в пространстве не равна нулю, а имеет направление вдоль вектора времени. На этом рисунке она по сути всюду равна орту $t$. 4-импульс пропорционален (в нашем случае $m=1$ равен) 4-скорости.
4-сила $F^i=\gamma/c(FV;mg)$ имеет временную компоненту $FV$, т.е. в нашем случае она отклоняется от вертикали тем сильнее, чем больше мощность силы.
Все сопутствующие системы координат равноправны, переход между ними происходит по формулам Лоренца. Например, длины ортов $x$ и $t$ всех сопутствующих координат равны, хотя и выглядят разными. Смысл 4-векторов в том, что они преобразуются так же, как координаты. Например, сила $mg$ в нашем случае неизменна и направлена вдоль скорости. Поэтому вектор 4-силы вдоль мировой линии имеет величину и направление такие, чтобы просто быть неизменным в сопутствующих координатах. То же касается 4-скорости и 4-импульса. Интересно, что модуль 4-скорости для всех тел во всех системах отсчета - это всегда $c$, т.е. можно сказать, что в четырехмерном пространстве-времени абсолютная 4-скорость всех тел определена и равна $c$.
Ниже нарисована параболическая траектория падения тела согласно расчетам классической механики. Формулы Галилея тоже задают преобразование координат, согласно которому орт оси пространства остается неизменным, а орт оси времени удлиняется и поворачивается: с одной стороны он является касательным к траектории, а с другой - сохраняет постоянную горизонтальную проекцию. Сила $mg$ здесь так же всегда направлена вдоль оси $x$, так же постепенно сводит угол между ортами $x$ и $t$ к нулю и так же приводит к бесконечному удлинению орта $t$. Отличие от релятивистского случая в том, что там ускорение приводит еще и к повороту оси $x$, поэтому "неограниченная скорость" развивается в обоих случаях, но в случае СТО она выглядит неожиданно: вместо неограниченной скорости перемещения в пространстве мы получаем неограниченную скорость перемещения в пространстве-времени между событиями на образующих светового конуса, что выражается нулевым интервалом между ними.

[arseniiv]

Если поле силы однородно, почему она у вас меняется в разных точках мировой линии частицы?

Потом, не стоит писать $t~U~P$, $t$ это координата/ось, а 4-скорость и 4-импульс — векторы, и кстати с чего ось $t$ наклоняется? (И $x$.) То есть я перечитал и вижу, что вы примерно хотели этим выразить, но получилось очень сумбурно и лучше так не делать — вот вы сами перепутали и направили силу по $x$, хотя это не тот $x$.

Плюс если говорить о ко/контравариантности, 4-импульс и 4-сила более натурально, насколько я помню, будут ковекторами, ну тут уж ладно, подождём, пока вы с ними освоитесь(?).