Сущность математических проблем

[OZH]

Мне всегда казалось, что у математики есть нечто, глубоко запрятанное в основаниях, что во многом определяет её дух и букву...

Не будучи профессиональным математиком (по диплому я --- "прикладной математик", но, как Вы понимаете, прилагательное --- враг существительного, к тому же учился я из рук вон плохо и только сейчас пытаюсь что-то наверстать своими закосневшими мозгами), и не разбираясь в мат. логике (я имею в виду теорему Гёделя о неполноте), я смотрю на всё это как бы со стороны. И вот что я вижу.

С одной стороны, есть хорошо развитые и хорошо сложенные теории. Особенно, это касается теорий всевозможных линейных объектов. Но это поиск под фонарём. Самое интересное --- это нелинейное. Но и оно рассматривается как локально линейное. Отсюда проистекает дифференциальное исчисление. Другая противоположность --- мера, которой мы пытаемся описать объекты в целом. Отсюда проистекает интегральное исчисление. Но что такое дифференциальное (интегральное) уравнение. Это --- известное соотношение неизвестных функций. И всё. А графы? Что такое граф? Это --- совокупность объектов и связей между ними. И всё. Простота (и наглядность) определений "окупается" трудностью доказательств важнейших фактов.

С другой стороны есть изложение теорий в учебниках, которое отражает результат развития математики, а не сам процесс получения результата...

Возникает вопрос: то, что мы имеем сегодня --- это закономерный, а потому и единстенный, способ математического познания мира, или существуют принципиально иные подходы к самому построению математики?

Конечно, существует т.н. конструктивный анализ. Но я имею в ви ду сам подход к определению понятий. В философии, кажется, есть понятие лестницы Витгенштейна: мы можем отбросить предшествующий путь, и использовать достигнутое, как исходную точку наших построений. Одна такая попытка нам известна: это --- теория категорий, в рамках которой отношение принадлежности элемента множества --- производное понятие. А если посмотреть шире?

Возьмём теорию дифференциальных уравнений. Мы умеем интегрировать некоторые дифференциальные уравнения. А почему не можем любое? Что нам мешает? Есть приближённые методы. Но нужно точное описание процесса. Так что же такое дифференциальное уравнение? Строго говоря, оно --- это все случаи его применения. Но как описать эти случаи?

Почему до сих пор у нас нет периодической таблицы функций, графов и уравнений? Почему мы до сих пор не знаем толком, что чем управляет?

Ведь, в чём состоит методология математики? Мы хотим решить задачу. Мы понимаем, что саму задачу решить не можем. Мы начинаем решать другую задачу, сужаем класс допустимых объектов, занимаемся поиском необходимых и достаточных условий. Получается, что мы можем решить задачу (в лучшем случае) для всюду плотного, но счётного, множества объектов. Мы что-то можем сказать об "алгебраических" объектах, но "трансцендентные" для нас так и остаются загадкой. Что нам мешает? Наш теоретико-множественный формализм? Или отсутствие формализма? Гильберт мечтал о формализации математики, но этого так и не сделано. Арнольд считает формализацию невозможной, а занятие оной --- вредительством. Но сам смотрит на некоторые загадочные соотношения, как завороженный. Может быть, всё-таки есть что-то, есть какой-то способ универсальной укладки математических объектов, при котором мы будем точно знать, по какому алгоритму можно, пользуясь одним объектом, достучаться до другого объекта?

(Маниловщина, скажите, да? Такое, разумеется может предложить, наверное, только безграмотный математик, которому невмоготу сидеть и решать математические задачи. Вот он и "выдумывает" чудовчищ, а разум спит...)

P.S. Возмём, например, непрерывные функции. Ранее, непрерывными функциями называли как раз те, которые представимы единым аналитическим выражением. То есть: непрерывность --- это единый способ описания. Теперь непрерывность --- это локальное свойство. Для большинства "аналитических" функций непрерывность в современном смысле гарантируется тем, что суперпозиция непрерывных функций оказывается непрерывной... Но если рассматривать хотя бы только степенные функции при любых аргументах и показателях степени, возникают существенные разрывы в стройной картине мира, когда для части показателей и аргументов приходится вводить ограничения, только чтобы не возникало ветвей (призрак многозначности) и функцию можно было бы обратить. Теория логически непротиворечива. Следовательно, она не полна. Не эта ли неполнота описания даже простейших функций (или степенные функции не простейшие?!) есть причина многих трудностей? И какое необходимо внести "противоречие", чтобы картина стала полной?

P.P.S. Вопросов много. Есть ли в них смысл? И есть ли ответы? И для чего эти ответы? ...

[epros]

OZH писал(а):

Возникает вопрос: то, что мы имеем сегодня --- это закономерный, а потому и единстенный, способ математического познания мира, или существуют принципиально иные подходы к самому построению математики?

Конечно, существует т.н. конструктивный анализ. Но я имею в ви ду сам подход к определению понятий.

Вы задали вопрос и сами же на него ответили. И почему же ответ Вас не устроил? Какой "сам подход" Вы имеете в виду?

Может быть Вам следовало сначала задаться вопросом: Зачем (нужна вся эта математика)?
Это философ может "работать" ради одного только интеллектуального самоудовлетворения, а нормальному математику, наверное, нужна какая-то внешняя цель...

OZH писал(а):

Теория логически непротиворечива. Следовательно, она не полна. Не эта ли неполнота описания даже простейших функций (или степенные функции не простейшие?!) есть причина многих трудностей?

Ох уж этот Гёдель. И что ж все на нём так зациклились. Ну, не может быть достаточно содержательная непротиворечивая теория полной, и что с того? Это всего лишь означает, что она не на все вопросы отвечает. Может просто наплевать на это и расслабиться? Ну да, в рамках классической логики принято считать, что на любой правильный вопрос есть ответ. Но "принято считать", это ещё не значит, что иначе никак нельзя.

[Yarkin]

OZH в сообщении #139523 писал(а):

Почему до сих пор у нас нет периодической таблицы функций,

Попытайтесь этот процесс начать.

OZH в сообщении #139523 писал(а):

Возмём, например, непрерывные функции.

Я бы связал их порядок с порядком дифференциального уравнения, которому они удовлетворяют.

[Nilenbert]

Yarkin писал(а):

Я бы связал их порядок с порядком дифференциального уравнения, которому они удовлетворяют.

Ну и какой порядка дифференциальному уравнению удовлетворяет функция Вейерштрасса?

[Jnrty]

Jnrty:

Переношу из раздела "Дискуссионные темы (М)". Математики, хотя бы и дискуссионной, здесь не предвидится.

[OZH]

Jnrty писал(а):

Математики, хотя бы и дискуссионной, здесь не предвидится.

Это ещё только начало темы. (Я надеюсь.)

Вот что меня беспокоит.

1. Проблема мощности.

Де в том, что интуиция, как мне представляется, связывает "количество элементов" не с понятием мощности (класс биективных друг другу множеств), а с понятием порядкого числа. То есть "количество элементов" связано ещё и со способом пересчёта элементов.

2. Проблема размерности.

У нас есть пространства целой размерности. Имеют ли смысл пространства дробной размерности? В принципе, существуют работы (Урысона, Алекстандрова и Витушкина...) Фрактальный подход специфичен, то тоже имеет право на существование. С оговорками. А что делать с отрицательными размерностями? Либо мы сознательно ограничиваем область допустимых значений, либо мы пытаемся построит "непрерывное" продолжение на всю ось.

3. Проблема размерности-2

Относительно функций есть соответствующая проблема Гилдьберта, работа Арнольда, теорема Колмогорова (о суперпозиции функций). Но ещё есть статья А.С,Кронрода "О функциях двух переменных", где свойства двумерных функций разваливаются на свойства одномерные (аналогичные свойствам одномерных функций) и совйства, существенно двумерные. Так что же происходит, при переходе от одного измерения к двум? И можно ли "непрерывно" перейти от 1 к 2?

4. Проблема тождества

Во многих рассуждениях фигурирует пресловутый оборот: "с точностью до". Можно ли обойтись без него или это --- родовая особенность математики?

[hurtsy]

OZH писал(а):

Цитата:

интуиция, как мне представляется, связывает "количество элементов" не с понятием мощности (класс биективных друг другу множеств),

Для конечных множеств, вроде бы, проблеммы нет? А бесконечность - определяется аксиоматикой принятой "интуицией ".

Цитата:

2. Проблема размерности.

Размерность, мне кажется связана с натуральными числами.

Цитата:

пресловутый оборот: "с точностью до".

Это, по моему, должно быть в основаниях математики. С уважением,

[Someone]

OZH в сообщении #139703 писал(а):

1. Проблема мощности.

Де в том, что интуиция, как мне представляется, связывает "количество элементов" не с понятием мощности (класс биективных друг другу множеств), а с понятием порядкого числа. То есть "количество элементов" связано ещё и со способом пересчёта элементов.

Нет, порядковые числа не годятся. Тот же натуральный ряд мы можем "пересчитать" так, что получится $\omega$, а если захотим, то получим $\omega+1$ или $\omega\cdot 2$.

Вместе с тем, идея взаимно однозначного соответствия, как показывает история, вовсе не является искусственной. Примитивные системы счёта больше соответствуют этой идее, а не порядковым числам, поскольку они при счёте сопоставляют предметам пальцы рук и ног сначала одного человека, потом - другого и так далее ("полная рука" "человек" оленей - 100 штук).

OZH в сообщении #139703 писал(а):

2. Проблема размерности.

У нас есть пространства целой размерности. Имеют ли смысл пространства дробной размерности? В принципе, существуют работы (Урысона, Алекстандрова и Витушкина...) Фрактальный подход специфичен, то тоже имеет право на существование. С оговорками. А что делать с отрицательными размерностями? Либо мы сознательно ограничиваем область допустимых значений, либо мы пытаемся построит "непрерывное" продолжение на всю ось.

Существует много различных понятий размерности (например, алгебраические размерности, топологические размерности, (ко)гомологические размерности,...). Как правило, эти размерности целочисленные и неотрицательные (честно признаюсь, что не встречал размерностей дробных или отрицательных).
В ряде случаев с помощью метрики или меры вводятся характеристики, которые совпадают с одной из топологических размерностей в случае просто устроенных метрических (или даже только евклидовых пространств), но могут иметь дробные значения для некоторых подмножеств этих пространств. На этом основании такие характеристики также называют "размерностями". Однако в известных мне случаях эти "размерности" зависят не от множества самого по себе, а от его расположения в заданном пространстве. Такова, например, фрактальная размерность. Однако отрицательных "размерностей" я и тут не встречал.

Хочется Вам отрицательных размерностей - определяйте и изучайте.

OZH в сообщении #139703 писал(а):

4. Проблема тождества

Во многих рассуждениях фигурирует пресловутый оборот: "с точностью до". Можно ли обойтись без него или это --- родовая особенность математики?

Что имеется в виду? Уточните вопрос.

[AD]

OZH писал(а):

Во многих рассуждениях фигурирует пресловутый оборот: "с точностью до". Можно ли обойтись без него или это --- родовая особенность математики?

Это обычно означает равенство классов эквивалентности по некоторому отношению, то есть "самое настоящее, с точностью до всего"* равенство элементов фактормножества. То есть этот оборот легко раскручивается на формальный язык.

_________________
* То есть определяемое аксиомой теории множеств "множества равны, если состоят из одних и тех же элементов" ("аксиома объемности")

[OZH]

Someone писал(а):

Нет, порядковые числа не годятся. Тот же натуральный ряд мы можем "пересчитать" так, что получится $\omega$, а если захотим, то получим $\omega+1$ или $\omega\cdot 2$.

Да, но "пересчитать" совершенно формально. Тем не менее упорядоченность --- это структура, которая позволяет пересчитывать элементы только в определённом порядке. А простая биекция предполагает, чтомножество дано здесь и сразу. Это, вообще, подход "наивной" теории множеств. Каждое конечное множество может быть задано прямым перечислением своих элементов, а уже бесконечное (хотя бы и счётное) нет. Для "наивной" теории множеств достаточно предъявить биекцию. То есть мы упираемся в вопрос о законности механического переноса результатов с конечных множеств на бесконечные.

Цитата:

Вместе с тем, идея взаимно однозначного соответствия, как показывает история, вовсе не является искусственной.

Нет. Эта идея естественна и, поэтому, она и оказалась основной идеей в "наивной" теории множеств..

Цитата:

Примитивные системы счёта...

Вот и возникает вопрос о существовании непримитивных систем счёта... Но, возмножно, вопрос лишён смысла.

Цитата:

OZH в сообщении #139703 писал(а):

4. Проблема тождества

Во многих рассуждениях фигурирует пресловутый оборот: "с точностью до". Можно ли обойтись без него или это --- родовая особенность математики?

Что имеется в виду? Уточните вопрос.

"С точностью до биекции", "с точностью до изоморфизма", "с точностью до изометрии"...

Добавлено спустя 6 минут 46 секунд:

AD писал(а):

* То есть определяемое аксиомой теории множеств "множества равны, если состоят из одних и тех же элементов" ("аксиома объемности")

А вот это самое интересное!

Если множества равны, то это означает, что мы имеем дело с различными обозначениями одного и того же множества. Либо мы имеем дело с различными группами операций, приводящих к одному и тому же результату.

С другой стороны есть понятие модели. Есть, например, вещественные числа. Существует по крайней мере две традиционные модели вещественных чисел. И ещё: пополнение пространства. Мы рассматриваем наравне с элементами их некоторые классы, например, классы фундаментальных последовательностей...

[ewert]

OZH в сообщении #140083 писал(а):

"С точностью до биекции", "с точностью до изоморфизма", "с точностью до изометрии"...

AD в сообщении #140011 писал(а):

Это обычно означает равенство классов эквивалентности по некоторому отношению, то есть "самое настоящее, с точностью до всего"* равенство элементов фактормножества.

Например: изоморфность пространств (т.е. существование между ними некоторого изоморфизма) есть отношение эквивалентности. Утверждение "пространства совпадают с точностью до изоморфизма" означает ровно то, что эти пространства входят в один и тот же класс эквивалентности.
Хотя обычно возня с факторизациями не предполагается, а слова "с точностью до..." -- всего лишь сокращённая запись утверждения "существует такое ..., что...".

OZH в сообщении #140083 писал(а):

Есть, например, вещественные числа. Существует по крайней мере две традиционные модели вещественных чисел. И ещё: пополнение пространства. Мы рассматриваем наравне с элементами их некоторые классы, например, классы фундаментальных последовательностей...

Любая традиционная модель вещественных чисел так или иначе основана на идее пополнения: вещественное число -- это, грубо говоря, то, к чему можно сколь угодно точно приблизиться с помощью "обычных" (т.е. рациональных). Подход, связанный с классами фундаментальных последовательностей -- это просто наиболее прямая и принципиальная реализация этой идеи. В других случаях "принцип пополнения" оказывается более или менее замаскированным, но суть дела от этого не меняется.

И, между прочим: все эти модели именно "совпадают с точностью до изоморфизма". В данном случае это означает, что между ними существует биекция, сохраняющая арифметические отношения и отношение порядка.

[AD]

OZH писал(а):

Мы рассматриваем наравне с элементами их некоторые классы, например, классы фундаментальных последовательностей...

Что значит "наравне"?

[OZH]

ewert писал(а):

OZH в сообщении #140083 писал(а):

Есть, например, вещественные числа. Существует по крайней мере две традиционные модели вещественных чисел. И ещё: пополнение пространства. Мы рассматриваем наравне с элементами их некоторые классы, например, классы фундаментальных последовательностей...

Любая традиционная модель вещественных чисел так или иначе основана на идее пополнения: вещественное число -- это, грубо говоря, то, к чему можно сколь угодно точно приблизиться с помощью "обычных" (т.е. рациональных). Подход, связанный с классами фундаментальных последовательностей -- это просто наиболее прямая и принципиальная реализация этой идеи. В других случаях "принцип пополнения" оказывается более или менее замаскированным, но суть дела от этого не меняется.

И, между прочим: все эти модели именно "совпадают с точностью до изоморфизма". В данном случае это означает, что между ними существует биекция, сохраняющая арифметические отношения и отношение порядка.

Вы мне всё пытаетесь что-то объяснить... А я пытаюсь, понять, можно ли сделать небольшое насилие над материалом и развести изоморфные объекты. (Может быть это невозможно или просто бессмысленно.) Мне представляется, что изоморфность --- одна из причин невозможности полной формализации математики.

Добавлено спустя 4 минуты 18 секунд:

AD писал(а):

OZH писал(а):

Мы рассматриваем наравне с элементами их некоторые классы, например, классы фундаментальных последовательностей...

Что значит "наравне"?

Что такое $\sqrt{2}$? Это --- предел последовательности рациональных чисел. И, притом, не одной, а целого класса. Вот это самое $\sqrt{2}$ и есть класс эквивалентности. И опять же, при пополнении вводится множество классов и говорится о том, что рациональные числа изометричны части этого множества.

Добавлено спустя 1 минуту 36 секунд:

Если говорить о построении вещественных чисел, то сначала идёт алгебраическое пополнение, и только на последнем этапе вступает в дело топология.

[ewert]

OZH в сообщении #140975 писал(а):

Если говорить о построении вещественных чисел, то сначала идёт алгебраическое пополнение, и только на последнем этапе вступает в дело топология.

Что такое "алгебраическое пополнение"?

[OZH]

ewert писал(а):

Что такое "алгебраическое пополнение"?

Сначала у нас были только натуральные числа. Потом мы начали "замыкать": добавили ноль и отрицательные числа, потом рациональные... А уже после того как мы получили вещественные числа, вдруг, вспохватились: поле-то не замкнутое (алгебраически). И замкнули для верности. Так на свет родились комплексные числа.