Вопрос по обозначениям

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы или отдельные обозначения (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Munin]

maxcho в сообщении #1407974 писал(а):

Таким образом, ответ на мой изначальный вопрос должен был бы звучать так "Возьмите учебник по азам дифференциального исчисления".

Добавлю ещё одну книгу
Зельдович. Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике (1963).
Зельдович, Яглом. Высшая математика для начинающих физиков и техников (1982).
Это одна и та же книга, но сильно разные переиздания. На первую книгу очень морщились математики, и Зельдович (физик) к переизданию взял в соавторы Яглома (математика). Однако некоторые, наоборот, считают, что от этого книга потеряла, и рекомендуют именно первый вариант.

Книга интересна тем, что не только объясняет материал "на пальцах" (и даже где-то не имеет математической строгости), но и нацелена на практическое использование в физике, то есть сосредоточена иногда на других темах. Может, хорошо бы, чтобы таких учебников было больше, но она достаточно уникальна.

[maxcho]

Munin в сообщении #1409902 писал(а):

maxcho в сообщении #1407974 писал(а):

Таким образом, ответ на мой изначальный вопрос должен был бы звучать так "Возьмите учебник по азам дифференциального исчисления".

Добавлю ещё одну книгу
Зельдович. Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике (1963).
Зельдович, Яглом. Высшая математика для начинающих физиков и техников (1982).
Это одна и та же книга, но сильно разные переиздания. На первую книгу очень морщились математики, и Зельдович (физик) к переизданию взял в соавторы Яглома (математика). Однако некоторые, наоборот, считают, что от этого книга потеряла, и рекомендуют именно первый вариант.

Книга интересна тем, что не только объясняет материал "на пальцах" (и даже где-то не имеет математической строгости), но и нацелена на практическое использование в физике, то есть сосредоточена иногда на других темах. Может, хорошо бы, чтобы таких учебников было больше, но она достаточно уникальна.

Спасибо за рекомендацию, в общем-то теперь стало понятно, что в первую очередь нужно изучать матанализ, для дальнейшего применения к теоретической механике, теплотехнике и электростатике/электродинамике.

[Munin]

maxcho в сообщении #1407974 писал(а):

Почему в данном случае ставится$ f'(x)$, а не $f(x)$? Чтобы не путать с функцией, которая задана справа от знака равенства?

Штрих здесь - это общепринятое обозначение производной. На самом деле, у производной много обозначений, прям беда. Но основные два, с которыми сразу же стоит "быть на ты" - это $f'(x)$ и $\dfrac{df}{dx}.$ Причём физики предпочитают обычно $\dfrac{df}{dx}.$ Это не дробь, это единое обозначение. Оно всегда устроено как $\dfrac{d\ldots}{d\ldots},$ в которое подставляются по надобности разные буквы.

maxcho в сообщении #1407974 писал(а):

То есть, если в выражении появится еще она функция, то она будет задана уже как $F''(x)$ или$ f''(x)$?

Если у нас есть несколько функций, то их обозначают обычно $f(x),g(x),h(x)$ или $f_1(x),f_2(x),f_3(x),$ или реже из другой части алфавита: $u(x),v(x),w(x).$

А $f''(x)$ - это вторая производная, то есть производная от функции, которая сама является производной от функции $f(x).$

$f''(x)=(f')'(x),$ если вам это будет понятней.
$f''(x)=\dfrac{d^2f}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\Bigl(\dfrac{df}{dx}\Bigr)$ в других обозначениях.

Большой буквой $F(x)$ в этом контексте часто обозначают первообразную, то есть такую функцию, что $F'(x)=f(x).$ Но это не общее правило, нельзя взять какую угодно функцию, и написать большой буквой. Это обозначение почти не используется за пределами нескольких теорем в начале матанализа.

maxcho в сообщении #1407974 писал(а):

Второй пример $\frac{x^{p+1}}{p+1}+C$ в данном случае $C$ - это произвольно выбранная переменная или устоявшееся обозначение? Может ли $C $быть заменено на $D$, к примеру?

$C$ - это произвольно выбранная постоянная. И в то же время, устоявшееся обозначение для такой постоянной (при взятии интеграла). Если нужно несколько таких постоянных, то обычно пишут $C_1,C_2,C_3,\ldots$

[maxcho]

MuninСпасибо. Кстати, полистал форум, оказывается, не у одного меня на школьном уровне восприятия такая проблема с пониманием физического или геометрического смысла производной. То есть, во-первых, проблема разобраться с обозначением, что в той же формуле $\frac {dx}{dy}$ написано. Раз это не дробь, значит, не имеет место отношение $x$ к $y$. А во-вторых, проблема связать некий физический закон с его записью в дифференциальной форме. Получается, что если речь идет о зависимости скорости от пути, времени от пути, мы представляем себе эту зависимость как функцию и исследуем эту зависимость методами мат.анализа, надеюсь, я верно себе это представляю.

Правильно ли я понимаю, что сущность приложения мат. анализа к физике как раз и заключается в том, чтобы иметь возможность анализировать физические зависимости, соотношения, закономерности, представляя их как функции? Скажем, если речь идет о зависмостях при деформациях материалов или зависимостях связанных с изменением параметров электрического тока, тепловых свойств материалов?

[Aritaborian]

Да, вы всё верно себе представляете. А как же можно понимать это иначе?

[maxcho]

Aritaborian в сообщении #1409913 писал(а):

Да, вы всё верно себе представляете. А как же можно понимать это иначе?

Как нечто совершенно новое и ранее неизученное. Я понимаю, что для профессионалов это даже не азы, а еще очевиднее.

[Munin]

maxcho в сообщении #1407974 писал(а):

Допустим, в алгебре я могу постепенно, шаг за шагом переходить от $ab, a+b=c$, к более сложным$a^2-b^2; (a+b)^2$ и далее, без скачков к уравнениям $2, 3, n$ степеней. Есть определенная преемственность. А здесь получается, что вот вполне понятная запись $f(x)=y+1$, а потом внезапно появляется $dx$ или $dt$, которые непонятно что. Переменные? Множества? Дельты некоторых изменений функции? Значения скорости изменения функции?

Ну давайте немного философии.

1. В алгебре вы работаете с числами. Вы осваиваете операции (алгебраические операции):

сложение, умножение, вычитание, деление

и их свойства. Чтобы говорить о каких-то общих случаях, вы заменяете числа буквами, и переходите к действиям с буквами. Например, вы можете начать с выражения $(a+b)^2,$ и раскрыть скобки, но не можете вычислить его значение до окончательного числа, потому что вам не известно, что надо подставлять в буквы $a$ и $b.$ То есть, вы работаете с формулами из чисел и букв (которые тоже подразумевают числа). И наконец, вы можете поставить задачу: "такая-то формула даёт такое-то число; какие числа в неё подставлены?". То есть, записать уравнение, и начать решать его относительно неизвестных значений букв. Такое уравнение - алгебраическое уравнение - тоже даёт в ответе число.

2. В мат. анализе вы работаете с функциями. Функция - это объект более сложный, чем число, он содержит больше информации. Соответственно, с ними есть тоже множество разных действий, операций. Часть этих действий в школе называют "действия над графиками".

а) Есть поточечные операции с числами ("по-точечные", то есть "по точкам"). Это такие же действия, что и обычные алгебраические операции, они записываются такими же значками. Но смысл здесь таков, что берётся функция и функция, и на выходе в результате получается снова функция:

$f(x)+g(x)$ - это означает "в каждой точке $x,$ то есть, при каждом значении независимой переменной $x,$ надо сначала вычислить значение функции $f(x),$ а потом значение функции $g(x),$ и их сложить - и это будет значение новой функции в той же точке $x$";
$k\cdot f(x)$ - это означает "в каждой точке $x$ надо сначала вычислить значение функции $f(x),$ а потом умножить его на $k$ - и это будет значение новой функции в той же точке $x$".

б) Есть алгебраические операции, но уже не поточечные. Например:

$f(x+c)$ - это означает "в каждой точке $x$ надо сначала сложить $x+c,$ и получить новое число, а потом вычислить значение функции $f$ уже для этого нового числа как независимой переменной - и это будет значение новой функции именно в точке $x$".

Этими действиями можно, например, совершать множество действий с графиками функций: сдвигать по вертикали и по горизонтали, сжимать и растягивать, отражать, и т. д.

в) Обобщение предыдущей идеи - это общая идея замены переменных, или подстановки функции в функцию, или операции композиции функций. А именно:

$f(g(x))$ - это означает "в каждой точке $x,$ то есть, при каждом значении независимой переменной $x,$ надо сначала вычислить значение функции $g(x),$ а вычислить значение функции $f$ уже для этого нового числа как независимой переменной - и это будет значение новой функции, опять же, именно в точке $x$".

Операция композиции уже позволяет очень мощно конструировать разнообразные функции, но ей не хватает маленькой детали. Спросим себя, если $f$ - какая-то известная функция, то какой должна быть неизвестная функция $g,$ чтобы выполнялось $g(f(x))=x$? То есть, такая функция будет как бы "отменять" действие функции $f.$

г) Операция взятия обратной функции - это такая функция $f^{-1},$ что выполняется $f^{-1}(f(x))=x$ и $f(f^{-1}(x))=x.$ Обратная функция бывает не для всякой функции $f.$ Зато если уж она есть, то $(f^{-1})^{-1}=f$ - то есть, данная функция будет обратной к своей обратной. Несколько примеров обратных функций:

$\sqrt[n]{x}$ - функция, обратная к $x^n,x\geqslant 0$ (если мы не ограничим область определения для функции возведения в степень, то у неё может не быть обратной);
$\log_a x$ - функция, обратная к $a^x,a>0,a\ne 1$;
$\arcsin x$ - функция, обратная к $\sin x,x\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]$ (если мы не ограничим достаточно область определения для функции синуса, то у неё не будет обратной)...

Итак, в этой области $\sin$ - это какая-то конкретная функция, а буквами $f,g\ldots$ обозначаются такие функции, которые ещё не известны, но на их место можно подставлять всякие разные функции (не всегда любые; например, к функции могут быть какие-то требования). И наконец, можно записать функциональное уравнение, то есть такое, в котором некоторая буква $f$ - неизвестная функция, а само уравнение при помощи каких-то операций с ней - выражает какое-то свойство этой функции. (Или система уравнений и несколько функций.) Например:

$f(x+y)=f(x)f(y)$ - такому уравнению удовлетворяет показательная функция $f(x)=a^x.$

Но всё-таки в таком виде это довольно "скучный" мир (а функциональные уравнения почти все безнадёжно нерешаемы), и недостаточен для надобностей физики и техники. И поэтому в него добавляют ещё

д) Операции дифференцирования и интегрирования. Они выходят за рамки вычисления функций в отдельных точках, и требуют:

чтобы узнать значение производной от данной функции - знать её значения в какой-то окрестности точки, справа и слева;
а чтобы узнать значение интеграла от данной функции - знать её значения на каком-то большом промежутке, например, слева от данной точки.

Это не единственные операции такого типа, но с них можно начинать. (Например, есть важные операции свёртки; преобразования Фурье; преобразования Лапласа.)

И уже эти операции позволяют записывать дифференциальные и интегральные уравнения, которые не только часто удачно решаются, но и выражают очень многие идеи и математические модели в физике и других науках. Например:

$\dfrac{dN}{dt}=-kN$ выражает идею, что какое-то количество $N$ постоянно уменьшается, причём со скоростью, пропорциональной самому этому количеству, например, скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству радиоактивного вещества (а единица вещества распадается с одной и той же скоростью, не меняющейся по времени и от других условий);
и решение этого уравнения $N=2^{-t/(k^{-1}\ln 2)}$ является законом радиоактивного полураспада, с периодом полураспада, равным $T_{1/2}=k^{-1}\ln 2.$

То есть, вам надо освоить один новый объект - функции. И две новых операции: дифференцирование и интегрирование. Но конечно, это в сумме довольно много новых фактов, и осваивать вы их будете долго и постепенно.

[Aritaborian]

maxcho в сообщении #1409915 писал(а):

Как нечто совершенно новое и ранее неизученное. Я понимаю, что для профессионалов это даже не азы, а еще очевиднее.

Ну вот смотрите, до чего мы докатились в нашем образовании. До того, что понимание школьной физики и связь применения к ней азов матанализа считают уделом неких «профессионалов». maxcho, я не считаю вас идиотом и точно так же готов помочь вам, как и уважаемый Munin, но я, чёрт возьми, в недоумении.

[maxcho]

Aritaborian в сообщении #1409921 писал(а):

maxcho в сообщении #1409915 писал(а):

Как нечто совершенно новое и ранее неизученное. Я понимаю, что для профессионалов это даже не азы, а еще очевиднее.

Ну вот смотрите, до чего мы докатились в нашем образовании. До того, что понимание школьной физики и связь применения к ней азов матанализа считают уделом неких «профессионалов». maxcho, я не считаю вас идиотом и точно так же готов помочь вам, как и уважаемый Munin, но я, чёрт возьми, в недоумении.

Зато я неплохо играю на скрипке. :) И у меня был очень специфический жизненный путь (спецшкола) не стоит переносить на всех, в массе, думаю, люди у нас более подкованные в точных науках.

[Munin]

Надо по-другому спрашивать: зачем физику скрипка :-) Ну, Эйнштейн играл на скрипке, как известно. Вроде бы, для своего удовольствия.

[maxcho]

Ну да, а Фейнман на бонго. Да и среди знакомых программистов многие говорят «хотели бы мы уметь играть», а я думаю «да что тут такого, я хочу уметь интегралы брать».

[Aritaborian]

maxcho, откуда ж мне знать, что вы выпускник ЦМШ девяностых, а не среднестатистической средней школы недавних лет.

[maxcho]

Aritaborian в сообщении #1409928 писал(а):

maxcho, откуда ж мне знать, что вы выпускник ЦМШ девяностых, а не среднестатистической средней школы недавних лет.

(Оффтоп)

Ну вот :) Жизнь сложная штука...

-- 12.08.2019, 01:17 --

MuninСпасибо за очень доходчивый ликбез. Буду изучать операции над функциями.