Тензор

[sergey zhukov]

Мне кажется, связь между тензорами разных рангов рекуррентная.
Допустим, мы имеем преобразование координат тензора первого ранга:

$x^\prime_{1}=a_{11}x_1+a_{12}x_2$

$x^\prime_{2}=a_{21}x_1+a_{22}x_2$

Теперь получим из первого уравнения два, подставив поочередно в него вместо $x$ сначала $x^\prime_{1}$, а затем $x^\prime_{2}$ и оставив индекс исходного $x$ за скобкой:

$(x^{\prime}_{1})^\prime_1=a_{11}(x^\prime_{1})_1+a_{12}(x^\prime_{1})_2$

$(x^{\prime}_{2})^\prime_1=a_{11}(x^\prime_{2})_1+a_{12}(x^\prime_{2})_2$

Если раскрыть скобки (при этом $(x_i)_j=x_{ji}$ и $(x^\prime)^\prime=x^{\prime\prime}$), и проделать аналогичные подстановки со вторым уравнением, то получаются четыре уравнения:

$x^{\prime\prime}_{11}=a_{11}a_{11}x_{11}+a_{11}a_{12}x_{12}+a_{12}a_{11}x_{21}+a_{12}a_{12}x_{22}$

$x^{\prime\prime}_{12}=a_{11}a_{21}x_{11}+a_{11}a_{22}x_{12}+a_{12}a_{21}x_{21}+a_{12}a_{22}x_{22}$

$x^{\prime\prime}_{21}=a_{21}a_{11}x_{11}+a_{21}a_{12}x_{12}+a_{22}a_{11}x_{21}+a_{22}a_{12}x_{22}$

$x^{\prime\prime}_{22}=a_{21}a_{21}x_{11}+a_{21}a_{22}x_{12}+a_{22}a_{21}x_{21}+a_{22}a_{22}x_{22}$

Тогда $x_{ij}$ - это тензор второго ранга. Эту подстановку можно продолжать дальше.
Есть в этом какой-то смысл? Или это просто совпадение, которое ничего не дает для понимания?

[Утундрий]

Ну, в каком-то смысле... Я бы сказал, что связь между тензорами - тензорная, но это как-то не звучит. Давайте на примере. Вот есть у нас кирпич. Мы кладём рядом ещё один кирпич и, сделав соответствующее умственное усилие, сооружаем объект "два раза кирпич". Гы, как весело, - говорим мы и кладём рядом ещё один кирпич...

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1409711 писал(а):

Есть в этом какой-то смысл?

Тензорное произведение ассоциативно, о чём знают все, читавшие учебник.

[sergey zhukov]

А если тензор понимать так:

Допустим, точка трехмерного пространства характеризуется функцией, которая ставит в соответствие любому произвольному вектору ответный вектор. Для трехмерного пространства достаточно выполнить в этой точке три измерения (задать три произвольных входных вектора (опорный базис) и получить три разных ответных вектора), чтобы полностью определить эту функцию (в данном случае - тензор второго ранга). Т.е. нужно определить три тройки векторов "вход-ответ", три диады. Матрица тензора содержит координаты векторов ответов в базисе опорных векторов. Имея этот тензор, можно в опорном базисе вычислить вектор-ответ на любой входной вектор (или наоборот). Используем другие опорные вектора (новая система координат) - получим другую матрицу тензора. Т.е. новые координаты - новая функция в этих координатах. А их комбинация инвариантна.

Состояние в точке может быть сложнее, когда задание одного вектора на входе всего лишь сводит ситуацию к предыдущей. Т.е. нужно последовательно задать два вектора, чтобы получить один вектор-ответ. Такое состояние будет описываться тензором третьего ранга. Для него нужно определить три триады. И так далее.

Т.е. тензор $n$-ого ранга - это функция максимум от $n$ векторных аргументов (или $m$ тензорных аргументов суммарным рангом $n$). Тензор $n$-ого ранга становится тензором $n-1$ ранга, когда получает один аргумент (вектор). Когда он получает все $n$ аргументов, то становится скаляром.

[sergey zhukov]

Если рассматривать тензор второго ранга, как функцию, связывающую два вектора, которая в трехмерном пространстве задается 9 коэффициентами, то для однозначного определения такой функции достаточно в каждой точке пространства задать любые (в общем случае) три пары векторов.
Если нужно задать тензор третьего ранга, который можно понимать, как функцию, связывающую три вектора и которая в трехмерном пространстве задается 27 коэффициентами, то для однозначного определения такой функции достаточно в каждой точке пространства задать любые (в общем случае) девять троек векторов.
Для тензора четвертого ранга это будет 27 четверок векторов и т.д. Т.е. в трехмерном пространстве тензор ранга $n$ имеет $3^n$ коэффициентов и задается $3^{n-1}$ группами из $n$ векторов.
Правильно?

[arseniiv]

sergey zhukov в сообщении #1409767 писал(а):

А если тензор понимать так:

Почему уже не начать его понимать по определению? (Тем более их много, можно ограничиться каким-то одним по желанию.)

sergey zhukov в сообщении #1409767 писал(а):

Допустим, точка трехмерного пространства характеризуется функцией, которая ставит в соответствие любому произвольному вектору ответный вектор. Для трехмерного пространства достаточно выполнить в этой точке три измерения (задать три произвольных входных вектора (опорный базис) и получить три разных ответных вектора), чтобы полностью определить эту функцию (в данном случае - тензор второго ранга).

Важно, что (для каждой фиксированной точки) эта функция линейная, иначе никаких трёх измерений бы не хватило.

sergey zhukov в сообщении #1409767 писал(а):

Т.е. тензор $n$-ого ранга - это функция максимум от $n$ векторных аргументов (или $m$ тензорных аргументов суммарным рангом $n$)

Не просто функция, а функция, линейная по каждому аргументу (коротко: полилинейная) и возвращающая скаляр (а то ранг не тот будет).

Ещё тензоры можно понимать как элементы универсальной конструкции. Тензорное умножение — это «наиболее общее» умножение (билинейная функция), которое можно придумать: все другие умножения можно получить, беря вместо операндов $x, y$ их тензорное произведение $x\otimes y$. Так можно получить представление о тензорном произведении двух линейных пространств $V\otimes W$, в которое и действует произведение ${\otimes}\colon V\times W\to V\otimes W$, а уже после построить и тензорные произведения большего числа пространств (в которых живут тензоры более высоких рангов).

(Ещё на форуме рассказывали ёмкое: $\otimes$ позволяет полилинейные отображения заменять линейными (по аргументу из $V_1\otimes\ldots\otimes V_n$). Но коротко говорить или не коротко, всё равно нужно будет некоторое время на знакомство как следует.)

Тут чисто алгебраические идеи приводят к вполне законному виду понимания тензоров вообще всех разом. Для этого надо будет ещё рассмотреть разные естественные операции с ними, которые рождаются например естественным спариванием векторов и ковекторов $(,)\colon V^*\times V\to K$ ($K$ — наше поле скаляров) — оно даёт все свёртки тензоров которые есть в природе, и как частный случай след линейного оператора; есть и естественное отображение в обратную сторону, $K\to V^*\times V$: вообще, $W^*\times V$ естественно изоморфно пространству линейных отображений $\operatorname{Hom}(V, W)$ из $V$ в $W$, так что мы можем получить функцию из скаляра в линейный оператор $\alpha\mapsto \alpha E$, где $E$ — единичный оператор; это вид сбоку на самое обычное умножение скаляра на вектор. Мы можем переставлять аргументы тензорного произведения, что для собственно тензоров (элементов тензорных произведений $V$ и $V^*$ для какого-то одного $V$) даст возможность говорить об их (анти)симметричности и определять их (анти)симметризации. Ещё некоторые вещи можно ввести до дифференциальной геометрии, которая уже позволит делать что-то с гладкими тензорными полями, принимая в расчёт их локальное поведение, но сначала наверняка стоит разобрать, что можно делать с отдельными тензорами.

Для физики — и по-моему не только для физики — полезно ещё разобраться с индексной записью тензорных соотношений. Есть конкретное понимание, где буквы с набором индексов перечисляют координаты тензора в некотором базисе, и есть абстрактное, в котором индексы — просто имена для аргументов тензора, если понимать его как полилинейную функцию, хотя можно говорить и о каких-то «абстрактных аргументах» в том смысле, что если некий элемент $T\in V_1\otimes\ldots\otimes V_n$ равен $\sum_{i=1}^k v_{1i}\otimes\ldots\otimes v_{ni}$, то все там $v_{ki}$ должны быть из $V_k$. Вообще линейное отображение $T$ можно задать, положив его разложимым (вида $v_1\otimes\ldots\otimes v_n$) и действуя на сомножителях $v_i$, так что понятие «абстрактных аргументов» вполне на мой взгляд твёрдое. • Тут я отвлёкся, а польза индексной записи в её ужасной компактности и в возможности надстроить её до записи соотношений координат тензоров в разных базисах, в том числе досконально разобраться в изменении координат при смене базиса (в конкретной индексной записи невзаимозаменяемые наборы индексов соответствуют пространствам-с-базисом, а в абстрактной — разным пространством без выбора базисов).

-- Пн сен 16, 2019 23:28:19 --

А учебники по линалу вам вроде советовали?

[sergey zhukov]

arseniiv в сообщении #1415478 писал(а):

Почему уже не начать его понимать по определению?

Я понимаю тензор, как полилинейную функцию, дающую в каждой точке скаляр от $n$ векторов. Полилинейность значит, что если компоненты любого вектора (вектор - аргумент этой функции) умножить на $K$, то скаляр тоже умножится на $K$. Если взять любые $n$ векторов в точке $m$-мерного пространства и тензорно их перемножить (что значит составить все возможные произведения, в каждое из которых от каждого из $n$ векторов входит одна компонента (всего получится $m^n$ разных произведений)), то получим коэффициенты тензорной функции ранга $n$. Эта функция получена из конкретных $n$ векторов, но это не значит, что она только их и определяет. Примерно, как $n$ конкретных точек определяют целую гиперплоскость, заданную соответствующими коэффициентами, так $n$ конкретных векторов определяют тензор, заданый соответствующими коэффициентами. Тензорной функции, полученной тензорным перемножением $n$ конкретных векторов, удовлетворяет множество других наборов из $n$ векторов.

Тензорным перемножением $n$ векторов невозможно получить произвольный тензор ранга $n$, т.к. количество компонент $n$ векторов в $m$-мерном пространстве равно $mn$, а число компонент тензора ранга $n$ больше и равно $m^n$. Т.е. множество матриц, полученных тензорным произведением $n$ векторов, меньше, чем множество вообще всех возможных матриц тензора ранга $n$. Из $m^n$ компонент такого тензора независимыми могут быть только $mn$ компонент.

Я хотел прояснить вопрос геометрического представления тензора. Например, тензор 2 ранга ставит в соответствие одному вектору другой. Если подойти к проблеме визуализации этой зависимости так же, как мы делаем это для скалярной функции $y=y(x)$ (т.е. одновременно отобразить все возможные зависимые пары $(x;y)$ точками), то придется отобразить в точке все зависимые пары векторов. В точке получатся два ежика векторов, причем еще нужно как-то указать их попарное соответствие. Это для произвольной зависимости одного вектора от другого. Но для простой полилинейной функции достаточно нарисовать в точке всего три пары векторов, удовлетворяющих этой функции. Правда, их выбор не будет однозначным (т.е. невозможно приписать тензору какой-то однозначный геометрический вид, если пытаться изобразить его в виде векторов), но они однозначно определяют тензорную функцию. Я думаю, что тут трудность примерно та же, что и с плоскостью, которую нельзя однозначно представить в виде трех точек, хотя они и определяют плоскость однозначно. Тем не менее, произвольный тензор второго ранга в трехмерном пространстве однозначно задается тремя парами векторов.
А сколько троек векторов нужно задать в точке трехмерного пространства, чтобы однозначно определить тензор третьего ранга? Какая тут общая формула?

[arseniiv]

sergey zhukov в сообщении #1415512 писал(а):

Полилинейность значит, что если компоненты любого вектора (вектор - аргумент этой функции) умножить на $K$, то скаляр тоже умножится на $K$.

Это только однородность, ещё важно, чтобы $f(\ldots,u+v,\ldots) = f(\ldots,u,\ldots) + f(\ldots,v,\ldots)$, но вы наверно её уже имели в виду.

sergey zhukov в сообщении #1415512 писал(а):

Тензорной функции, полученной тензорным перемножением $n$ конкретных векторов, удовлетворяет множество других наборов из $n$ векторов.

Да, конечно, хотя разница между этими наборами будет только в «перераспределении скаляров» $(\alpha v)\otimes w = v\otimes(\alpha w)$. Вот неразложимые в одно произведение тензоры могут иметь и большее разнообразие представлений типа $u\otimes(u+v) + v\otimes v = u\otimes u + (u+v)\otimes v$ (для линейно независимых $u, v$ это не сложится в одно произведение).

sergey zhukov в сообщении #1415512 писал(а):

Тензорным перемножением $n$ векторов невозможно получить произвольный тензор ранга $n$, т.к. количество компонент $n$ векторов в $m$-мерном пространстве равно $mn$, а число компонент тензора ранга $n$ больше и равно $m^n$. Т.е. множество матриц, полученных тензорным произведением $n$ векторов, меньше, чем множество вообще всех возможных матриц тензора ранга $n$. Из $m^n$ компонент такого тензора независимыми могут быть только $mn$ компонент.

Всё так, хотя при $n>2$ обычно о матрицах не говорят, просто о наборах компонент, тем более что соотношение между ними не совсем хорошее: один индекс элемента матрицы всегда строчный и другой всегда столбцовый, что не всегда получается понимать как контравариантный и ковариантный, потому что матрицы и для билинейных форм применяют, у которых оба ковариантны и т. д..

sergey zhukov в сообщении #1415512 писал(а):

Я хотел прояснить вопрос геометрического представления тензора. Например, тензор 2 ранга ставит в соответствие одному вектору другой. Если подойти к проблеме визуализации этой зависимости так же, как мы делаем это для скалярной функции $y=y(x)$ (т.е. одновременно отобразить все возможные зависимые пары $(x;y)$ точками), то придется отобразить в точке все зависимые пары векторов. В точке получатся два ежика векторов, причем еще нужно как-то указать их попарное соответствие. Это для произвольной зависимости одного вектора от другого. Но для простой полилинейной функции достаточно нарисовать в точке всего три пары векторов, удовлетворяющих этой функции. Правда, их выбор не будет однозначным (т.е. невозможно приписать тензору какой-то однозначный геометрический вид, если пытаться изобразить его в виде векторов), но они однозначно определяют тензорную функцию. Я думаю, что тут трудность примерно та же, что и с плоскостью, которую нельзя однозначно представить в виде трех точек, хотя они и определяют плоскость однозначно. Тем не менее, произвольный тензор второго ранга в трехмерном пространстве однозначно задается тремя парами векторов.
А сколько троек векторов нужно задать в точке трехмерного пространства, чтобы однозначно определить тензор третьего ранга? Какая тут общая формула?

А, это. Но вообще это по-моему не отвечает на вопрос о геометрическом представлении (обычно оно должно быть хоть как-то наглядным, а три пары векторов мне бы, например, мало что дали) — это чисто вопрос определимости. Тогда тут всё просто: раз у нас пространство конечномерное, мы можем переносить аргументы полилинейных отображений вправо и наоборот $(\operatorname{Hom}(U\otimes V,W)\cong\operatorname{Hom}(U,V^*\otimes W)$, так что мы просто справа делаем (ко)вектор, а слева остаётся $n-1$ (ко)векторов, и если это всё элементы $V$ и $V^*$, то выбрав базис в $V$, мы можем перебрать $(\dim V)^{n-1}$ наборов из $n-1$ базисных векторов и получить столько же результатов, но важно их пронумеровать, чтобы не перепутать какой от какого набора, итого будет $n + (\dim V)^{n-1}$ векторов и вот мне вообще не нравится то, что мы сейчас тут сделали. Это совершенно не даёт ничего ни уму, ни сердцу.

Я хотел сказать ещё в прошлый раз, но не знал куда воткнуть и забыл: геометрический смысл лучше искать у тензоров не сразу всех валентностей разом, а у каждой по отдельности (типа того, что вот тут билинейная форма, тут линейный оператор и т. п., хотя я бы предпочёл сразу рассматривать тензорные произведения разных пространств — хоть физике они нужны вроде реже, но они дают понять многие полезные вещи и ответить на какие-то вопросы). У достаточно высоких рангов будет уже только «абстрактно-геометрический» смысл, больше опирающийся на операции, чем на визуальное представление.

[sergey zhukov]

arseniiv в сообщении #1415530 писал(а):

итого будет $n + (\dim V)^{n-1}$

Может быть, $n(\dim V)^{n-1}$ ? Иначе даже для $n=1$ получается не один, а два вектора.

Называть тензор геометрическим объектом как будто не более полезно, чем называть геометрическим объектом функцию $y=ax$ или даже вообще один только ее коэффициент $a$. Почему вообще так говорят? Тензорное поле - это все таки просто функция, ставящая в зависимость одному или сразу нескольким векторным полям другое векторное поле.
Может быть, геометричность тензора можно понимать так, что он определяет некую геометрию точки, в которой задан? Например, тензор теплопроводности анизотропного кристалла фактически характеризует геометрию ячейки атомной решетки кристалла. Т.е. - в непрерывном приближении - можно говорить о том, что точка пространства, несмотря на нулевые размеры, может характеризоваться разной внутренней геометрией, и тензор ее определяет.

Что такое тензорное произведение пространств? Это тензорное произведение векторных полей, заданных в этих пространствах, или нечто более общее?

[arseniiv]

sergey zhukov в сообщении #1415532 писал(а):

Может быть, $n(\dim V)^{n-1}$ ? Иначе даже для $n=1$ получается не один, а два вектора.

Да, я запутался в буквах, $\dim V + (\dim V)^{n-1}$ при $n>1$ и $1$ при $n\in\{0,1\}$.

sergey zhukov в сообщении #1415532 писал(а):

Называть тензор геометрическим объектом как будто не более полезно, чем называть геометрическим объектом функцию $y=ax$ или даже вообще один только ее коэффициент $a$. Почему вообще так говорят?

Когда говорят, что тензор — геометрический объект, это обычно в контексте его представления набором координат в базисе, то есть что это не просто какой-то набор координат, преобразуемый так-то при смене базиса, а даже определяемая безо всяких базисов вещь. Плюс их можно связать с геометрией примерно так же как связываются с ней векторы, ну и часто лишь через них, ну и что.

sergey zhukov в сообщении #1415532 писал(а):

Тензорное поле - это все таки просто функция, ставящая в зависимость одному или сразу нескольким векторным полям другое векторное поле.

Ну вот частный (если считать изоморфные вещи равными) случай тензора, линейный оператор, он вообще по определению функция, но с ними можно делать столько разного и у них столько геометрических приложений, что «просто функция» уже не скажешь.

Плюс я пока старательно не говорю о полях. От полей начинается смысл, когда нам важны какие-то отличия между значениями поля в разных точках, а пока нет, можно ограничиться одним значением — отдельным вектором, отдельной билинейной формой и т. д..

sergey zhukov в сообщении #1415532 писал(а):

Может быть, геометричность тензора можно понимать так, что он определяет некую геометрию точки, в которой задан? Например, тензор теплопроводности анизотропного кристалла фактически характеризует геометрию ячейки атомной решетки кристалла.

Ну я бы не сказал, что любой тензор можно так притянуть. И это уже физика пошла, в чистой дифференциальной геометрии такое можно сказать про поле метрического тензора $g$, но про произвольное тензорное поле на многообразии? Нет, оно сможет быть задано как угодно.

sergey zhukov в сообщении #1415532 писал(а):

Что такое тензорное произведение пространств? Это тензорное произведение векторных полей, заданных в этих пространствах, или нечто более общее?

Это я как раз пока не говорю о полях, потому что в случае полей конструкции будут хитрее. Пока я просто о линейных пространствах, в которых живут отдельные векторы, и связанных с ними линейных пространствах, в которых живут ковекторы, операторы и т. д.. Если векторы $v\in V, w\in W$ (я продолжу брать разные векторные пространства, потому что так будет намного больше полезных частных случаев: мы можем взять $W = V$, $W = V^*$, $W = V^*\otimes V^*\otimes V$ или вообще никак не связанное с $V$ линейное пространство), то произведение $v\otimes w$ лежит в $V\otimes W$, тензорном произведении пространств $V, W$, и даже если определять тензоры как полилинейные функции в скаляры, без такого произведения далеко не уйдёшь.

[sergey zhukov]

arseniiv в сообщении #1415537 писал(а):

линейный оператор, он вообще по определению функция

В чем разница между билинейной формой и линейным оператором (а так же вообще тензором 2 ранга)? Разве каждый из этих объектов не есть функция, линейно преобразующая при помощи матрицы коэффициентов один набор переменных в другой, что всегда можно понимать, как преобразование одного вектора в другой? В википедии сказано, что билинейная форма, это:

Цитата:

функция от двух групп по $n$ переменных, являющаяся однородным многочленом первой степени относительно переменных из каждой группы.

Почему эти "группы переменных" не называют просто векторами?

[arseniiv]

Ну, тут важно, что не всегда у нас есть скалярное произведение. Тогда $V$ и $V^*$ не имеют какого-то выделенного изоморфизма, и следующие сущности нельзя смешивать:
(1) линейный оператор — это линейное отображение $V\to V$, его можно рассматривать и как тензор из $V^*\otimes V$;
(2) билинейная форма — это билинейное отображение $V\times V\to K$, его можно рассматривать и как линейное $V\otimes V\to K$, и как тензор из $V^*\otimes V^*$;
(3) и ещё из тензоров второго ранга остаются тензоры из $V\otimes V$.

При выборе базиса в $V$ они все, конечно же, получают $(\dim V)^2$ координат, но эти координаты преобразуются при смене базиса тремя разными способами.

-- Вт сен 17, 2019 23:04:39 --

sergey zhukov в сообщении #1415540 писал(а):

Почему эти "группы переменных" не называют просто векторами?

Это не самое общее понимание билинейной формы. Когда в $V$ фиксирован базис, выражение значения формы через координаты каждого из векторных аргументов будет тем многочленом.

[george66]

В какой-то из книг по линейной алгебре (из тех, что я читал) тензор так и определяется как линейная функция от нескольких векторов и нескольких ковекторов. Например, вектор - это линейная функция от одного ковектора.

[arseniiv]

Да, полилинейная это любимое многими определение. На них даже $\otimes$ это просто $(F, G)\mapsto (u\ldots, v\ldots)\mapsto F(u\ldots) G(v\ldots)$, зато свёртку поди так просто определи; её можно получить как «обратную» для расширения: $F\mapsto (u_1\ldots, v, u_2\ldots, f, u_3\ldots)\mapsto F(u_1\ldots, u_2\ldots, u_3\ldots) fv$.

-- Ср сен 18, 2019 00:32:44 --

(Оффтоп)

Вот кстати удобной нотации для штук типа последней не хватает: строго говоря, я не определил расширение $F$ вставкой $v, f$ в обратном порядке, а хотелось бы в таких случаях иметь запись понагляднее. Операды мерещатся.

[sergey zhukov]

Правильно ли я понял, что пространство $V$ - это пространство вектор-столбцов, а $V^\ast$ - это пространство вектор-строк? Соответственно, билинейная форма (2,0) связывает две вектор-строки, линейный оператор (0,2) - два вектор-столбца, а тензор (1,1) - строку и столбец? И, соответственно, вектор - это столбец, а ковектор - строка?