Тензор

[vpb]

sergey zhukov в сообщении #1415591 писал(а):

Правильно ли я понял, что пространство $V$ - это пространство вектор-столбцов, а $V^\ast$ - это пространство вектор-строк? Соответственно, билинейная форма (2,0) связывает две вектор-строки, линейный оператор (0,2) - два вектор-столбца, а тензор (1,1) - строку и столбец? И, соответственно, вектор - это столбец, а ковектор - строка?

Нет, не совсем. Если в пространстве выбран базис, то его можно отождествить с пространством вектор-столбцов (так чаще всего принято). Тогда операторы, действующие слева, изображаются матрицами (а действию оператора на вектор соотвествует умножение матрицы на столбец). А сопряженное пространство тогда изображается как пространство строк. А пока базис не выбран, нельзя, конечно, говорить, что $V$ --- это пространство столбцов.

[arseniiv]

sergey zhukov в сообщении #1415591 писал(а):

Соответственно, билинейная форма (2,0) связывает две вектор-строки, линейный оператор (0,2) - два вектор-столбца, а тензор (1,1) - строку и столбец?

Не, билинейная форма берёт два вектора и выдаёт скаляр, линейный оператор имеет валентность (1, 1) и выдаёт по вектору вектор — но также для любого линейного отображения есть сопряжённое, в данном случае берущее ковектор и выдающее ковектор. А тензор валентности (0, 2) можно понимать как билинейную форму от ковекторов.

Про другое vpb уже написал, разве что можно добавить, что само пространство столбцов, конечно, тоже векторное пространство, и:
• пространство из матриц одной и той же формы естественно изоморфно пространству линейных отображений между пространствами столбцов;
• пространство строк естественно изоморфно двойственному к пространству столбцов соответствующей длины.

То есть некоторые $V$ — пространства столбцов, и когда у нас один базис сильно лучше других, можно навсегда связать с ним свою жизнь и рассматривать именно пространство столбцов. (Например матрицы и столбцы, возникающие при работе с марковской цепью, такие — у нас есть естественный базис, связанные с отдельными возможными состояниями цепи, а произвольный вектор задаёт вероятностное распределение на этих состояниях.) Но не все, часто рассмотрение базиса нам ничего не даст, и тогда столбцами лучше не размахивать. Возьмите те же векторы на плоскости: нужно ли навязывать им какие-то координаты, чтобы вывести какие-нибудь геометрические тождества?

И ещё конечно в каком-нибудь жутко редком случае нам может быть полезнее сделать пространство строк «первее», а столбцы рассматривать как соответствующие ковекторы. Но обычно, как уже сказано, «главному» векторному пространству, когда такое есть в рассмотрении, соответствуют координатные столбцы.

[sergey zhukov]

А, понятно. Строки и столбцы - это как договоримся. Договорились, что столбцы - это векторы. Главное, что базис векторов по определению находится в $V$. А дуальный базис ковекторов по определению находится в $V^\ast$.
При преобразованиях базиса $V$ компоненты векторов преобразуются обратно своему базису $V$. И компоненты ковекторов преобразуются обратно своему базису $V^\ast$, т.е. внутренние свойства пространств $V$ и $V^\ast$ совершенно одинаковые. И проекции ковекторов на базис $V^\ast$ выполняются совершенно так же, как проекции векторов на базис $V$. Только преобразования их базисов всегда связаны обратной зависимостью.
Можно сказать так: при преобразованиях базиса компоненты векторов преобразуются обратно своему базису $V$, а компоненты ковекторов - обратно своему базису $V^\ast$. Но говорят так: компоненты векторов преобразуются обратно базису $V$, а компоненты ковекторов - так же, как базис $V$. Это одно и то же, но немного маскирует равноправие векторов и ковекторов.

Еще я понял, что линейный оператор, билинейная форма и тензор (2,0) - все это не имеет прямого отношения к связи векторов и ковекторов. Переход от вектора к ковекторам и обратно происходит по определению только при помощи метрического тензора, а не просто какого попало линейного преобразования. Кроме метрического тензора ничто другое не может "поднимать и опускать индексы", т.е. преобразовывать векторы в ковекторы и наоборот.
Линейный оператор, т.е. тензор (1,1), билинейная форма, т.е. тензор (0,2) и тензор (2,0) называются по разному только из-за разного закона преобразования их компонент (который получается разным потому, что матрицы этих объектов получены тензорным перемножением либо векторов, либо ковекторов, либо одних с другими), а не из-за того, что они выполняют разные математические операции.

[Munin]

(Оффтоп)

george66, arseniiv
Н. Вавилов в курсе Алгебры Хопфа и теории Галуа

https://www.youtube.com/playlist?list=PL-_cKNuVAYAXMUxpt73hlqQ6Bh7DyUA5A

первые 3,14 лекций отводит введению тензорного произведения, и поясняет, что в разных разделах математики тензорное произведение вводится по-разному. Он доказывает в лекции 3 их эквивалентность (в конечномерном случае) как канонических изоморфизмов:

$U\otimes V=\operatorname{Hom}(U^*,V)=\operatorname{Hom}(V^*,U)$
$U\otimes V=\operatorname{Hom}((U\otimes V)^*,R)=\operatorname{Hom}(U^*\otimes V^*,R)=L(U^*,V^*;R)$

[arseniiv]

(Munin)

Ну конечно, всё так. Я надеюсь, что могу любой из этих изоморфизмов выписать явно с нуля, простотой по этой части [конечномерная] линейная алгебра и завлекает меня. (Вот всякие задачи детерминанта — это другое, это слишком хитро для моей головы.)

-- Чт сен 19, 2019 00:44:11 --

sergey zhukov в сообщении #1415777 писал(а):

Кроме метрического тензора ничто другое не может "поднимать и опускать индексы", т.е. преобразовывать векторы в ковекторы и наоборот.

Ну вообще не совсем. Иногда поднимают и опускают другой невырожденной билинейной формой, например симплектической какой-нибудь. (Невырожденность формы нужна для взаимной однозначности отображения и даёт нам определить аналогичную форму на ковекторах.)

sergey zhukov в сообщении #1415777 писал(а):

билинейная форма, т.е. тензор (0,2) и тензор (2,0)

(Тут вы поменяли местами ковариантный и контравариантный ранг, но это мелочь.)

sergey zhukov в сообщении #1415777 писал(а):

называются по разному только из-за разного закона преобразования их компонент (который получается разным потому, что матрицы этих объектов получены тензорным перемножением либо векторов, либо ковекторов, либо одних с другими), а не из-за того, что они выполняют разные математические операции.

Тут лучше не говорить о матрицах (они появятся при рассмотрении координат), просто сами эти объекты могут получаться такими операциями. Ну и в принципе они всё же «выполняют разные математические операции», хотя это довольно размыто и можно понимать по-разному.