ОТО в изложении Фейнмана

[sergey zhukov]

Фейнман в своей дюжине лекций формулирует ОТО в виде двух законов:

Цитата:

1. Кривизна (пространства-времени), выраженная в виде избытка радиуса, пропорциональна массе внутри сферы

Т.е. измеренный радиус сферы больше вычисленного по площади ее поверхности (согласно формуле плоской геометрии) на величину массы внутри сферы (точнее $\frac{GM}{3c^2}$). Сфера считается достаточно малой, чтобы плотность материи внутри нее по всему объему была постоянной. Далее Фейнман уточняет, что в общем случае вместо массы нужно рассматривать энергию внутри сферы, которая включает и энергию массы покоя.

Цитата:

2. Объекты движутся так (если действует только гравитация), что их собственное время между двумя граничными условиями достигает максимума

Какую кривизну имеет ввиду Фейнман (он говорит средняя кривизна) в первом законе? Это скалярная кривизна $R=g^\mu^\eta R_\mu_\eta$?

Про эту кривизну Фейнман говорит еще так:

Цитата:

Следует заметить, что согласно этому закону средняя кривизна над поверхностью Земли равна нулю... Существует связь между различными компонентами кривизны и изменением среднего значения кривизны от точки к точке. Поэтому, если известна средняя кривизна во всех точках, вы можете определить кривизну в каждой точке. Средняя кривизна над Землей меняется с высотой, так что пространство искривлено

Первое утверждение я понимаю так, что если взять малую сферу над поверхностью Земли, то внутри нее не будет материи и средняя кривизна внутри этой сферы будет нулевой. Но почему тогда "средняя кривизна над Землей меняется с высотой", ведь на какой бы высоте ни выбрать эту малую сферу, она будет пустой. Или же "Над поверхностью Земли" означает точно на ее поверхности?
Верно ли, что если у нас есть только средняя кривизна (это все же скалярная величина, как я понял) и все ее производные в каждой точке, то мы можем вычислить тензор Римана (так надо понимать отличие "средней кривизны" и просто "кривизны")?
В двумерном пространстве средняя кривизна есть среднее двух главных кривизн. Минимальная поверхность, которая физически моделируется мыльной пленкой - это поверхность с нулевой средней кривизной. Существует ли какая-то аналогия между минимальными поверхностями (и их обобщениями на более высокую размерность) и вакуумными уравнениями ОТО?

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1409651 писал(а):

ОТО в изложении Фейнмана

ОТО в изложении Фейнмана - это Фейнмановские лекции по гравитации.

А в "Дюжине лекций..." он на изложение теории не претендует. Надо это чётко понимать.

sergey zhukov в сообщении #1409651 писал(а):

Какую кривизну имеет ввиду Фейнман (он говорит средняя кривизна) в первом законе? Это скалярная кривизна $R=g^\mu^\eta R_\mu_\eta$?

Очевидно, нет. Он же говорит, какую. Осталось сопоставить это с известными формулами ОТО.

sergey zhukov в сообщении #1409651 писал(а):

Первое утверждение я понимаю так, что если взять малую сферу над поверхностью Земли, то внутри нее не будет материи и средняя кривизна внутри этой сферы будет нулевой. Но почему тогда "средняя кривизна над Землей меняется с высотой", ведь на какой бы высоте ни выбрать эту малую сферу, она будет пустой.

Здесь скорее всего ошибка переводчика.

sergey zhukov в сообщении #1409651 писал(а):

Верно ли, что если у нас есть только средняя кривизна (это все же скалярная величина, как я понял) и все ее производные в каждой точке, то мы можем вычислить тензор Римана (так надо понимать отличие "средней кривизны" и просто "кривизны")?

Нет. Достаточно изучить дифференциальную геометрию, чтобы увидеть, что это не так.

sergey zhukov в сообщении #1409651 писал(а):

В двумерном пространстве средняя кривизна есть среднее двух главных кривизн.

ОТО существенно 4-мерна, её нельзя заменять на 2-мерную или даже 3-мерную теорию.

sergey zhukov в сообщении #1409651 писал(а):

Существует ли какая-то аналогия между минимальными поверхностями (и их обобщениями на более высокую размерность) и вакуумными уравнениями ОТО?

Существует, очень отдалённая.

[Утундрий]

sergey zhukov в сообщении #1409651 писал(а):

Фейнман в своей дюжине лекций

...терпит фиаско. Переключитесь на стандартные учебники. Они дадут Вам тот минимальный базис, который критически необходим для адекватного восприятия "дюжины лекций" и прочих хороших вещей.

[Munin]

С некоторыми читателями - любой учебник потерпит фиаско.

А "Дюжина лекций..." Фейнмана - хорошая книжка. На своём месте. В нужных руках.