Пространство-время Вейля-Картана и его преобразования.

[Guvertod]

В одном учебнике оно вскользь упоминается, как метрическое пространство с условием на связность:
$\nabla_{\mu}g_{\alpha \beta}=A_{\mu}g_{\alpha \beta}$ и без кручения.
Написано про инвариантность:

Цитата:

The presence of a Weyl connection makes the spacetime invariant under conformal rescalings of the metric

$$ g'_{\alpha \beta}=\Omega^2g _{\alpha \beta},\ \nabla'_{\mu}g'_{\alpha \beta}=\Omega^2\nabla_{\mu} g _{\alpha \beta} $$

assuming that the Weyl connection transforms as

$$A'_{\mu}=A_{\mu}- \partial_{\mu} \ln\Omega^2$$

И я, во-первых, даже не понял, что проверять на инвариантность то? Какое-то действие инвариантно - это понятно, а "пространство время инвариантно" это как?
Во-вторых, если расписать второе равенство через определение и остальные, то ведь просто будет $\partial_{\mu} \ln\Omega^2=0$.
Где я туплю?
Где прочитать про него подробнее?

[Munin]

Guvertod в сообщении #1407632 писал(а):

Какое-то действие инвариантно - это понятно, а "пространство время инвариантно" это как?

Я бы проверил на инвариантность, например, уравнение геодезических и перенос вектора по замкнутому контуру.

[пианист]

Я думаю, речь просто про то, что если метрику домножить на скаляр, то получится тоже годная.

[Guvertod]

Munin
У меня выходит:

$$\Gamma^\gamma_{\alpha \beta}= \{^{\gamma}_{\alpha \beta}\} + A_{(\alpha}\delta^{\gamma}_{\beta)} - \frac{1}{2}A^{\gamma}g_{\alpha \beta} $$

При $A_{\mu} \to A_{\mu}- \partial_{\mu} \ln\Omega^2$ и $g _{\alpha \beta} \to \Omega^2g _{\alpha \beta}$ :

$$\Gamma^\gamma_{\alpha \beta} \to \{^{\gamma}_{\alpha \beta}\} + \frac{1}{2} \Omega^{-2}( \delta^{\gamma}_{\alpha} \partial_\beta \Omega^2 + \delta^{\gamma}_{\beta} \partial_{\alpha }\Omega^2 - g_{\alpha \beta}\partial^{\gamma} \Omega^2) + A_{(\alpha}\delta^{l}_{\beta)} -\frac{1}{2}A^{\gamma}g_{\alpha \beta} - \frac{1}{\Omega} \partial_{\alpha} \Omega \delta^{\gamma}_{\beta}- \frac{1}{\Omega} \partial_{\beta} \Omega \delta^{\gamma}_{\alpha} + \frac{1}{\Omega} g_{\alpha \beta} \partial^{\gamma} \Omega= \Gamma^\gamma_{\alpha \beta}$$

- связность (и , соответственно, геодезические) действительно не меняется.

Однако, если добавить условие $ \nabla_{\mu}g_{\alpha \beta} \to \Omega^2\nabla_{\mu} g _{\alpha \beta} $, то отсюда будет следовать постоянство Омега. Вот это я не понял.

[Munin]

Guvertod в сообщении #1407722 писал(а):

связность (и , соответственно, геодезические) действительно не меняется.

А тогда, значит, и любые решения дифуров - тензорные поля - тоже не меняются. (В том числе и для любого записанного действия.) И как мы вообще отличим новую геометрию от старой?

[Guvertod]

Munin
Это можно будет посмотреть (возможно) и обсудить.
Только я сначала хочу понять, зачем было написано $\nabla'_{\mu}g'_{\alpha \beta}=\Omega^2\nabla_{\mu} g _{\alpha \beta}$, если оно вообще не к месту?

[Утундрий]

Как-то я прошёл мимо такого годного извращения... Пока пара замечаний сходу, без обдумывания. Вообще любая неметричность это по сути не более чем введение дополнительного тензора третьего ранга. Поскольку, раз уж есть метрика, всегда можно ввести согласованную с ней связность (и даже с кручением). Так что специальный вид вышеупомянутого крокодила говорит по сути следующее: А давайте теперь добавим ещё и векторное поле $A$. Далее предлагается отождествить метрики, связанные $\Omega$-преобразованием. В каком смысле - нужно думать.

P.S. Вы, надеюсь, в курсе, что все эти "единые теории поля" - то ещё болото?

[Guvertod]

Утундрий в сообщении #1407781 писал(а):

"единые теории поля" - то ещё болото

Кроме теории струн. Учебник, вообщем, больше по СУГРЕ и по ней. А это только первые страницы из введения в геометрию.
У меня вопрос не про смысл, а конкретный технический.

[Munin]

А назвать учебник нельзя?

[Guvertod]

Munin
Ortin Gravity and Strings, если это важно. Просто это (голубое) издание в интернете трудно найти, да и эта модель чисто для общего кругозора приведена там. Я думал, может кто еще источники знает.

[Munin]

Да нет, просто странно. Тут принято книжки сразу называть, а вы как-то обиняками... Если трудно найти, то и ладно.

[Gickle]

Честно сказать, я в этой теме ни ухом, ни рылом, но что-то такое где-то слышал, так что, может, хоть направление подскажу. Речь вроде как идёт о геометрии/гравитации Вейля в противовес геометрии Римана и гравитации Эйнштейна. Под инвариантностью пространства-времени, вероятно, понимается именно что инвариантность действия (впрочем, может, что что-то более хитрое). Суть в том, что гравитация Эйнштейна (скажем, действие Эйнштейна-Гильберта) не является конформно-инвариантной. Геометрия Вейля -- это попытка (одна из) сформулировать конформно-инвариантную гравитацию. В этом случае тензоры Римана и Ричи, отвечающие связности Вейля (а не Леви-Чивиты), являются конформно-инвариантными (может быть, именно это и имелось в виду). Хотя скаляр Ричи, как и комбинация $\sqrt{-g} R$, по-прежнему не являются инвариантными относительно конформного преобразования, в рамках геометрии Вейля несложно составить конформно-инвариантное действия (а вообще говоря, и не одно).

Поскольку вы в геометрии и ОТО разбираетесь явно лучше меня, то я просто предложу ещё список слов, по которым я бы что-то искал: Weyl geometry, Weyl gravity, conformal gravity, Weyl's gauge gravity.