2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пространство-время Вейля-Картана и его преобразования.
Сообщение29.07.2019, 14:38 
Заблокирован по собственному желанию


20/07/18

367
В одном учебнике оно вскользь упоминается, как метрическое пространство с условием на связность:
$\nabla_{\mu}g_{\alpha \beta}=A_{\mu}g_{\alpha \beta}$ и без кручения.
Написано про инвариантность:
Цитата:
The presence of a Weyl connection makes the spacetime invariant under conformal rescalings of the metric
$$ g'_{\alpha \beta}=\Omega^2g _{\alpha \beta},\ \nabla'_{\mu}g'_{\alpha \beta}=\Omega^2\nabla_{\mu} g _{\alpha \beta} $$
assuming that the Weyl connection transforms as
$$A'_{\mu}=A_{\mu}- \partial_{\mu} \ln\Omega^2$$

И я, во-первых, даже не понял, что проверять на инвариантность то? Какое-то действие инвариантно - это понятно, а "пространство время инвариантно" это как?
Во-вторых, если расписать второе равенство через определение и остальные, то ведь просто будет $\partial_{\mu} \ln\Omega^2=0$.
Где я туплю?
Где прочитать про него подробнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство-время Вейля-Картана и его преобразования.
Сообщение29.07.2019, 15:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Guvertod в сообщении #1407632 писал(а):
Какое-то действие инвариантно - это понятно, а "пространство время инвариантно" это как?

Я бы проверил на инвариантность, например, уравнение геодезических и перенос вектора по замкнутому контуру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство-время Вейля-Картана и его преобразования.
Сообщение29.07.2019, 16:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Я думаю, речь просто про то, что если метрику домножить на скаляр, то получится тоже годная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство-время Вейля-Картана и его преобразования.
Сообщение29.07.2019, 20:29 
Заблокирован по собственному желанию


20/07/18

367
Munin
У меня выходит:
$$\Gamma^\gamma_{\alpha \beta}=  \{^{\gamma}_{\alpha \beta}\} + A_{(\alpha}\delta^{\gamma}_{\beta)} - \frac{1}{2}A^{\gamma}g_{\alpha \beta} $$

При $A_{\mu} \to A_{\mu}- \partial_{\mu} \ln\Omega^2$ и $g _{\alpha \beta}  \to \Omega^2g _{\alpha \beta}$ :
$$\Gamma^\gamma_{\alpha \beta} \to  \{^{\gamma}_{\alpha \beta}\} + \frac{1}{2} \Omega^{-2}( \delta^{\gamma}_{\alpha} \partial_\beta \Omega^2 + \delta^{\gamma}_{\beta} \partial_{\alpha }\Omega^2 -  g_{\alpha \beta}\partial^{\gamma} \Omega^2)   + A_{(\alpha}\delta^{l}_{\beta)} -\frac{1}{2}A^{\gamma}g_{\alpha \beta} - \frac{1}{\Omega} \partial_{\alpha} \Omega \delta^{\gamma}_{\beta}- \frac{1}{\Omega} \partial_{\beta} \Omega \delta^{\gamma}_{\alpha} + \frac{1}{\Omega} g_{\alpha \beta} \partial^{\gamma} \Omega= \Gamma^\gamma_{\alpha \beta}$$
- связность (и , соответственно, геодезические) действительно не меняется.

Однако, если добавить условие $ \nabla_{\mu}g_{\alpha \beta} \to \Omega^2\nabla_{\mu} g _{\alpha \beta} $, то отсюда будет следовать постоянство Омега. Вот это я не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство-время Вейля-Картана и его преобразования.
Сообщение29.07.2019, 21:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Guvertod в сообщении #1407722 писал(а):
связность (и , соответственно, геодезические) действительно не меняется.

А тогда, значит, и любые решения дифуров - тензорные поля - тоже не меняются. (В том числе и для любого записанного действия.) И как мы вообще отличим новую геометрию от старой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство-время Вейля-Картана и его преобразования.
Сообщение29.07.2019, 21:58 
Заблокирован по собственному желанию


20/07/18

367
Munin
Это можно будет посмотреть (возможно) и обсудить.
Только я сначала хочу понять, зачем было написано $\nabla'_{\mu}g'_{\alpha \beta}=\Omega^2\nabla_{\mu} g _{\alpha \beta}$, если оно вообще не к месту?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство-время Вейля-Картана и его преобразования.
Сообщение30.07.2019, 00:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Как-то я прошёл мимо такого годного извращения... Пока пара замечаний сходу, без обдумывания. Вообще любая неметричность это по сути не более чем введение дополнительного тензора третьего ранга. Поскольку, раз уж есть метрика, всегда можно ввести согласованную с ней связность (и даже с кручением). Так что специальный вид вышеупомянутого крокодила говорит по сути следующее: А давайте теперь добавим ещё и векторное поле $A$. Далее предлагается отождествить метрики, связанные $\Omega$-преобразованием. В каком смысле - нужно думать.

P.S. Вы, надеюсь, в курсе, что все эти "единые теории поля" - то ещё болото?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство-время Вейля-Картана и его преобразования.
Сообщение30.07.2019, 00:53 
Заблокирован по собственному желанию


20/07/18

367
Утундрий в сообщении #1407781 писал(а):
"единые теории поля" - то ещё болото

Кроме теории струн. :-) Учебник, вообщем, больше по СУГРЕ и по ней. А это только первые страницы из введения в геометрию.
У меня вопрос не про смысл, а конкретный технический.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство-время Вейля-Картана и его преобразования.
Сообщение30.07.2019, 01:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А назвать учебник нельзя?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство-время Вейля-Картана и его преобразования.
Сообщение31.07.2019, 20:22 
Заблокирован по собственному желанию


20/07/18

367
Munin
Ortin Gravity and Strings, если это важно. Просто это (голубое) издание в интернете трудно найти, да и эта модель чисто для общего кругозора приведена там. Я думал, может кто еще источники знает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство-время Вейля-Картана и его преобразования.
Сообщение31.07.2019, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да нет, просто странно. Тут принято книжки сразу называть, а вы как-то обиняками... Если трудно найти, то и ладно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство-время Вейля-Картана и его преобразования.
Сообщение07.08.2019, 20:03 
Заслуженный участник


29/12/14
504
Честно сказать, я в этой теме ни ухом, ни рылом, но что-то такое где-то слышал, так что, может, хоть направление подскажу. Речь вроде как идёт о геометрии/гравитации Вейля в противовес геометрии Римана и гравитации Эйнштейна. Под инвариантностью пространства-времени, вероятно, понимается именно что инвариантность действия (впрочем, может, что что-то более хитрое). Суть в том, что гравитация Эйнштейна (скажем, действие Эйнштейна-Гильберта) не является конформно-инвариантной. Геометрия Вейля -- это попытка (одна из) сформулировать конформно-инвариантную гравитацию. В этом случае тензоры Римана и Ричи, отвечающие связности Вейля (а не Леви-Чивиты), являются конформно-инвариантными (может быть, именно это и имелось в виду). Хотя скаляр Ричи, как и комбинация $\sqrt{-g} R$, по-прежнему не являются инвариантными относительно конформного преобразования, в рамках геометрии Вейля несложно составить конформно-инвариантное действия (а вообще говоря, и не одно).

Поскольку вы в геометрии и ОТО разбираетесь явно лучше меня, то я просто предложу ещё список слов, по которым я бы что-то искал: Weyl geometry, Weyl gravity, conformal gravity, Weyl's gauge gravity.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group