Задачка по ТВ из Севастьянова

[mereke]

1.16 По схеме случайного выбора с возвращением
из множества целых чисел {$0, 1, 2, ..., 10^{m}- 1$}
выбираются числа $a$ и $b$. Найти вероятность того, что
сумма $a + b$ будет $m$-значным натуральным числом
в десятичной записи.

Помогите пожалуйста разобраться.
Пытался решать геометрически. Разность площадей квадрата $(10^{m} - 1)^{2}$ и двух треугольников $( (10^{m-1})^{2} + (2 \cdot 10^{m} - 10^{m} - 1)^{2}) / 2$. Ответ не сошёлся.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- более внятно изложите собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 03.08.2019, 13:41 --

mereke
Проблема в том, что Вы дискретную задачу решаете непрерывными методами. Геометрическая вероятность с конечным числом исходов не работает.

[robot80]

Если это садачник Зубкова, Севастьянова и Чистякова, то там сказано найти несколько вероятностей, последвательно увеличивая показатель $m$ от 1 до бесконечности. Это, надо полагать, сделано не просто так.
Используйте классическое определение вероятностей. Знаменатель, видимо, будет равен $10^m \cdot 10^m = 10^{ 2m} $
Вся сложность - в вычислении значения числителя. Рассмотрите частные случаи (они всё равно нужны): возьмите в начале $m=1$, потом $m=2$ и отследите закономерность его формирования на основе анализа таблицы сложения.

[mereke]

Я не правильно изложил условие.


Задача делится на два случая: когда $m = n + 1$ и $m \leqslant n$
Если $m \leqslant n$, то
В сумме $a+b$ в качестве $a$ я беру числа от 0 до $10^{m-1}$;
В качестве $b$, чтобы сумма была $m-значным$ числом, числа от $10^{m-1} - a$ до
$10^{m} - a - 1$ . Их всегда одинаковое число : $10^{m}-10^{m-1}-1$.
Числитель нашей вероятности такой: $(10^{m}-10^{m-1}-1) \cdot (10^{m - 1})$
Если $m = n + 1$, то я добавляю ещё сумму

$$\sum\limits_{i=10^{m-1}+1}^{10^{m}}(10^{m}-i)$$

Получил такие вероятности:
$p($при $m < n+1) = (10^{m}-10^{m-1}-1)/(10^{2 \cdot n - m + 1})$
$p($при $m = n + 1) = ((10^{m-1}\cdot(99\cdot10^{m-1} + 9)) - (10^{2m}-(10^{m-1}+1)^{2})/2)/(10^{2 \cdot n})$
ответ не сошёлся

[Otta]

mereke
Посчитайте для $m=1$ и $m=2$.

[Connector]

Для случая $m = n+1$ я бы считал по-другому, проще...

mereke в сообщении #1408671 писал(а):

Если $m \leqslant n$, то
В сумме $a+b$ в качестве $a$ я беру числа от 0 до $10^{m-1}$;

А если $a$ больше $10^{m-1}$? Наверное, опечатка, должно быть: $10^{m}-1$. Число $10^{m-1}-a$ при этом может оказаться отрицательным, но это не страшно.

[mereke]

Всё действительно стало ясно после построения матрицы $n \times n$ и вычисления вероятностей для $m = 1, 2$. Спасибо всем за содействие.