Составные числа различных порядков

[Ktina]

Составное число первого порядка — это составное число, уменьшив которое на некоторый его собственный (отличный от 1 и самого числа) натуральный делитель, можно получить простое число.

Составное число второго порядка — это составное число, уменьшив которое на некоторый его собственный (отличный от 1 и самого числа) натуральный делитель, можно получить составное число первого порядка, но получить простое число вышеописанным способом нельзя.

Составное число порядка $n\geqslant 3$ — это составное число, уменьшив которое на некоторый его собственный (отличный от 1 и самого числа) натуральный делитель, можно получить составное число порядка $n-1$, но получить число более низкого порядка вышеописанным способом нельзя.

---

А теперь собственно вопрос. Можно ли найти формулу, определяющую порядок составного числа? Например, любое число вида $2p$, где $p\in\mathbb{P}$ (то есть любое удвоенное простое число), является составным числом первого порядка, так как уменьшив его на $p$ мы $p$ же и получаем.

А дальше уже сложнее. Например, несколько первых составных чисел второго порядка выглядят следующим образом: 8, 9, 12, 15, 16, и некоей общей закономерности тут пока не просматривается (во всяком случае, автор данных строк пока её не видит).

А вот первым составным числом третьего порядка является уже 18, и тоже непонятно, по какой причине.

---

В общем, пожалуйста, помогите разобраться.

[podih]

Интересно.
Для общности предлагаю простые числа считать нулевым порядком.

[wrest]

Ktina в сообщении #1408419 писал(а):

уменьшив которое на

"Уменьшить на" означает "вычесть" или "поделить"?

[Ktina]

-- 03.08.2019, 10:28 --

podih в сообщении #1408420 писал(а):

Интересно.
Для общности предлагаю простые числа считать нулевым порядком.

Именно это и подразумевалось.

-- 03.08.2019, 10:28 --

wrest в сообщении #1408428 писал(а):

Ktina в сообщении #1408419 писал(а):

уменьшив которое на

"Уменьшить на" означает "вычесть" или "поделить"?

Вычесть. Если бы было поделить, было бы не "на", а "в".

[worm2]

Ktina в сообщении #1408419 писал(а):

Можно ли найти формулу, определяющую порядок составного числа?

Рекуррентную — легко

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} 0, &x \in\mathbb{P}\\ 1 + \min\limits_{\substack{x=ab\\a>1, b>1}} f\left(a(b-1)\right), &x \not\in\mathbb{P} \end{array} \right.$$

[Connector]

(Пара соображений по теме.)

Не только

Цитата:

любое число вида $2p$, где $p\in\mathbb{P}$ (то есть любое удвоенное простое число), является составным числом первого порядка

, как было замечено ТС, но и обратное тоже верно.
Отсюда видно, что любое число второго порядка представимо в виде $3p$ либо $2n$, где $n-1\in\mathbb{P}$.
Поправьте, если неправ.

[worm2]

Connector в сообщении #1408568 писал(а):

любое число второго порядка представимо в виде $3p$ либо $2n$, где $n-1\in\mathbb{P}$.
Поправьте, если неправ.

Ещё $4p$.

[Connector]

worm2
Никак не могу осмыслить. Давайте разверну свое измышление, а Вы укажете то место, где я ошибся.
Пусть число представлено в виде $pn$. Вычитая из него $p$, получаем $p(n-1)$. Но эта разность будет числом первого порядка только если $p = 2$, а $n-1$ — простое, или $n-1 = 2$. Этим должны исчерпываться все возможные случаи...
Или так: приведите пример числа $4p$, я посмотрю на него и пойму.
UPD. Да, действительно. Уже подсказали, и теперь вижу свою ошибку.

[ИСН]

$4p$ - это составное число, уменьшив которое на его собственный делитель $2p$, можно получить составное число первого порядка $2p$, но получить простое число вышеописанным способом нельзя.

[Connector]

ИСН
Все, понял, спасибо! Я почему-то в какой-то момент принял для себя, что собственный делитель должен быть простым , хотя ничего подобного в условиях, конечно, не было! Но теперь вроде полный список?