29 вещественных чисел

[Ktina]

По окружности записаны 29 вещественных чисел. Модуль разности любых двух соседних чисел не меньше 12, а сумма любых двух соседних чисел не меньше 70.

Какое наименьшее значение может принимать сумма всех 29 чисел? И почему?

[Connector]

Ясно, что в каждой паре соседних чисел наибольшее не меньше $41$.
Ну хорошо, допустим, что числа чередуются таким образом, что любое или больше каждого из двух соседних, или меньше каждого из них. При этом положим, что каждое число равно $41$ или $29$... Значит ли это, что сумма чисел полученной окружности будет наименьшей возможной?.. Да, но это неосуществимо, поскольку $29$ нечётно...
UPD. Все, понял, Dmitriy40 дал правильное решение!
Итак, действительно, должна существовать хотя бы одна тройка соседних чисел вида $(a, b, c)$, где $a<b<c$, а значит хотя бы одно $c = 53$.

[Dmitriy40]

$1033$.
Потому что числа $...,53,41,29,...$ не уменьшить.

[Ktina]

Dmitriy40
Connector
Большое спасибо!

-- 03.08.2019, 08:59 --

Поскольку всего у нас нечётное количество чисел (29), найдутся три идущих подряд числа в строго возрастающем (убывающем) порядке. Наибольшее из таких чисел не может быть меньше 53, в противном случае за ним будет следовать число, меньшее 41, а потом число, меньшее 29, но тогда сумма этих двух последних будет меньше 70.

Пример для суммы 1033 легко строится.