Язык математики

[sergey zhukov]

Чем больше я знакомлюсь с формулировкой научных теорий, тем больше убеждаюсь в том, что математика - это тот же естественный язык, только использованный предельно лаконично. Краткость и емкость выражений всегда ценится, а математика - это предел краткости.
Когда спрашивают о том, что значит та или иная величина в математической модели, т.е. в чем ее физический смысл, то на самом деле максимально точный и ясный ответ на этот вопрос дается именно на языке математики. Причем "язык математики" - это не какой-то другой язык, не то, что требует "перевода" на естественный язык. Это и есть естественный язык, из которого удалена вся избыточность и неоднозначность (рафинированная логика). И эта избыточность и неоднозначность естественного языка на самом деле не помогает, а только мешает пониманию. Т.е. если попытаться максимально точно и кратко описать любое понятие на естественном языке, мы неизбежно получим математическую формулировку. Математическое описание явления - это необходимое и достаточное описание на естественном языке. Что-либо сверх этого не может уже внести большей ясности, может лишь запутать. Т.е. математика - это максимально экономный способ использования естественного языка.
В математике множество объектов, которые могут быть описаны именно и только с максимальной краткостью и точностью. Они были так определены изначально, т.е. их описание не прошло эволюционный путь от естественного языка. Например, так определяется понятие тензора. Можно пытаться найти "не самое короткое, не самое точное и не самое однозначное" определение на избыточном естественном языке, но зачем это нужно?
С другой стороны, некоторые понятия определяются по математической аналогии, которая может быть совершенно не очевидной человеку, который не знает математики. Например, моя любимая метрика Лоренца. Как мне кажется, связь этого понятия с евклидовой метрикой не может быть понята человеком, который не знает, что эта величина просто может стоять в математическом описании евклидова пространства на месте евклидовой метрики, образуя некоторое новое пространство. Даже тот факт, что в результате получается именно какое-то пространство, следует из того, что так называлось это образование, когда используют евклидову метрику. Если свойства этой новой метрики и этого нового пространства не будут совпадать с определениями, данными им ранее, то определения просто будут обобщены и расширены. Определяющий признак того, что некоторая величина является чем-то - это ее место в математической модели.
Смысл любой математической величины уже содержится в самих уравнениях, их включающих. Никакого другого "физического" смысла в них нет. И дело не в том, что математика - это вещь в себе, не имеющая отношения к реальности. Дело в том, что математика уже сказала об этих величинах все, что о них вообще можно сказать. Это и есть самый полный "физический смысл". Если он и существует, то вот так он выглядит. Мы не можем сделать это описание более "осмысленным" или полным, пытаясь разбавить этот концентрат противоречащими или повторяющими данными.
Математический язык оформился письменно, но у него еще нет настолько же совершенного устного аналога. Поэтому в книжках между уравнениями еще вставляют какие-то абзацы текста, а математики сопровождают выкладки какими-то пояснениями.
Я хотел сказать, что с одной стороны мысль, выраженная кратко и метко (скажем, в виде афоризма), кажется нам очень глубокой и ясной, но если довести это стремление до предела, то получается математическое выражение, которое воспринимается уже как-то иначе.

[Pphantom]

sergey zhukov в сообщении #1408342 писал(а):

Смысл любой математической величины уже содержится в самих уравнениях, их включающих. Никакого другого "физического" смысла в них нет. И дело не в том, что математика - это вещь в себе, не имеющая отношения к реальности. Дело в том, что математика уже сказала об этих величинах все, что о них вообще можно сказать. Это и есть самый полный "физический смысл". Если он и существует, то вот так он выглядит.

Знаете, подобное утверждение со стороны человека, создавшего на форуме десять тем физического профиля и писавшего в каждой из этих тем, уж простите, глупости, выглядит несколько самонадеянно.

[Munin]

Без последнего предложения - это здраво. Это хорошая мысль, которую можно использовать.

[Dmitriy40]

sergey zhukov в сообщении #1408342 писал(а):

Смысл любой математической величины уже содержится в самих уравнениях, их включающих. Никакого другого "физического" смысла в них нет.

А как быть с теми случаями, когда разные физические явления описываются идентичными математическими формулами? Приписывать всем величинам и понятиям одинаковый физический смысл, даже вразрез с устоявшимися правилами и здравым смыслом? К сожалению не приходит на ум красивого и наглядного примера (ну разве что чисто как иллюстрации пример с акустическими чёрными дырами), но в новостях науки совсем не редко попадаются случаи применения математических теорий из совсем других областей.

[Dragon27]

Dmitriy40 в сообщении #1408352 писал(а):

А как быть с теми случаями, когда разные физические явления описываются идентичными математическими формулами?

Ну они сами по себе погружены в более широкий контекст, эдакую глобальную математическую модель всего физического мира. Мы просто их рассматриваем абстрактно, сосредотачиваясь только на нужных для решения задачи элементах модели.

[sergey zhukov]

Ну, надеюсь, иногда я пишу что-то путное.

Еще хотел добавить. Когда уравнения написаны, то спрашивать "в чем их физический смысл" может человек, который не привык говорить на предельно экономном языке. Ему нужно сказать все то же самое, только повторив это трижды разным способом. Но остается еще другой важный вопрос - соответствуют ли эти уравнения тому, что мы хотим ими описать? Если нет, то в них нет физического смысла. Если да - то физический смысл оказывается выражен наиболее экономно.

Dmitriy40 в сообщении #1408352 писал(а):

А как быть с теми случаями, когда разные физические явления описываются идентичными математическими формулами?

Я думаю, что цель научного познания - объять возможно большую площадь возможно меньшим периметром. Достижение наиболее компактного представления информации. Примерно, как архивация файла. Архиватор не может сжать файл, если в нем нет статистической избыточности, т.е. если он не состоит из множества копий одного и того же. Если разные области реальности описываются одинаковыми уравнениями, их следует считать одним и тем же. И научится так смотреть на эти вещи, когда их просто невозможно отличить друг от друга, т.е. когда совершенно ясно, что они не просто похожи, а что это именно одно и то же. Хороший пример - принцип эквивалентности Эйнштейна.

Еще один хороший пример - потенциальное течение жидкости. Потенциальное течение жидкости - это течение, поле скоростей которого есть градиент от скалярного поля. Течение невязкой жидкости потенциально. А течение вязкой жидкости не потенциально. Но самое интересное в том, что мы можем имитировать потенциальное течение невязкой жидкости, используя вязкую. Причем именно максимально вязкую. Для этого берем два параллельных листа стекла и продавливаем эту жидкость в щель между ними (лоток Хил-Шоу). Высокая вязкость и узкий зазор приводят к тому, что скорость жидкости практически точно пропорциональна градиенту давления (т.е. в среде с высоким сопротивлением скорость, а не ускорение пропорционально силе). Давление в данном случае есть потенциал поля скорости, поэтому течение потенциально. А потенциальное течение однозначно задается граничными условиями. Значит, поле скоростей этого течения в точности совпадает с полем скоростей идеальной жидкости. При этом в идеальной жидкости потенциал - это не давление, а более сложная величина. Наблюдая только поле скоростей, мы не можем сказать, какая именно жидкость там течет - вязкая или нет. Можно сказать, что с этой точки зрения эти течения - одно и то же.

[Pphantom]

sergey zhukov в сообщении #1408361 писал(а):

Если разные области реальности описываются одинаковыми уравнениями, их следует считать одним и тем же. И научится так смотреть на эти вещи, когда их просто невозможно отличить друг от друга, т.е. когда совершенно ясно, что они не просто похожи, а что это именно одно и то же. Хороший пример - принцип эквивалентности Эйнштейна.

У такого подхода есть проблема. Принцип эквивалентности - это экспериментальный факт, проверенный с некоторой точностью, который в более точных экспериментах, вообще говоря, может и не выполняться. Поэтому так "учиться смотреть на эти вещи" стоит только в рамках конкретной теории - понимая, что это именно теория с определенными границами применимости.

[beroal]

Есть проект «Natural semantic metalanguage», начатый Анной Вержбицкой. Это попытка написать определения понятий естественного языка как в математике: без циклов, с маленьким множеством фундаментальных понятий (primes). Правда, толковой литературы по этой теме я не нашёл.

[Red_Herring]

sergey zhukov в сообщении #1408361 писал(а):

Течение невязкой жидкости потенциально.

Очередная ересь. Течение невязкой жидкости вполне может быть непотенциальным. Вместо того, чтобы философствовать на общие темы, выучите что нибудь конкретное.

[george66]

beroal в сообщении #1408809 писал(а):

Есть проект «Natural semantic metalanguage», начатый Анной Вержбицкой. Это попытка написать определения понятий естественного языка как в математике: без циклов, с маленьким множеством фундаментальных понятий (primes). Правда, толковой литературы по этой теме я не нашёл.

Был толстый сборник "Семиотика", там был текст Пирса (который придумал кванторы раньше Фреге), ещё что-то и статья Вежбицкой. Я помню, что можно определять нос как "часть тела, воспринимающая запах", а можно определять запах как "ощущение, специфическое для носа". И вот второе определение правильное, потому что с человеческой точки зрения первичен нос, а вторичен запах. Это было забавно. Несколько книг Вежбицкой переведены
http://gen.lib.rus.ec/search.php?req=%D ... column=def