Задача по множествам

[Babken]

Помогите понять, правильно ли я мыслю. Просто задание звучит: "Проверьте соотношения", из-за чего я не могу понять, это соотношение является верным или нет. Выглядит оно так:

$(A \subset C) \wedge (B \subset C) \Leftrightarrow ((A \cup B) \subset C);$

При доказательстве в одну сторону я следую таким рассуждениям:

$x \in (A \subset C) \wedge (B \subset C) \Rightarrow x \in (A \subset C)$ и $x \in (B \subset C) \Rightarrow x \in (A \cap B) \subset C$

То есть у меня получается так, что я исключаю тот вариант, что $x \in A$, но $x \notin B$ и наоборот, хотя вариант $x \in A \cup B$ включает его в себя. Таким образом я получаю, что данное соотношение не верно. Правильно ли я рассуждаю? Или в чем ошибка?

[Connector]

Во-первых,
$x$ $\in$ $(A $\subset$ $C$)$ $\wedge$ $(B$\subset$ $C$)$ это какое-то странное обозначение... И что-то не в порядке с набором формул, кажется, Вы набрали их картинками.

(Оффтоп)

(впрочем, у меня тоже не в порядке)

[Babken]

Connector в сообщении #1408308 писал(а):

Во-первых,
$x$ $\in$ $(A $\subset$ $C$)$ $\wedge$ $(B$\subset$ $C$)$ это какое-то странное обозначение... И что-то не в порядке с набором формул.

Согласен, мне тоже показалась запись странной, потому что намешаны обозначения из теории логики и множеств. Однако это задача из учебника Зорича(I) с.10 упражнение 1(а). Там это все выглядит именно так

-- 02.08.2019, 12:00 --

[Connector]

Нет, почему же, сочетание логических символов и функторов теории множеств само по себе не криминал.
Просто я бы на Вашем месте написал: $x$ $\in$ $A$ $\wedge$ $x$ $\in$ $B$ $\Rightarrow$ $x$ $\in$ $A$ $\cap$ $B$.
У Зорича такого не нашёл, по крайней мере в изд. 2002 г., где упражнение на с. 12...

Babken в сообщении #1408306 писал(а):

То есть у меня получается так, что я исключаю тот вариант, что $x$ $\in$ $A$ но $x$ $\notin$ $B$ и наоборот, хотя вариант $x$ $\in$ $A$ $\cup$ $B$ включает его в себя. Таким образом я получаю, что данное соотношение не верно.

Так значит, надо рассмотреть и этот вариант, почему же неверно?

[Babken]

Connector в сообщении #1408312 писал(а):

Нет, почему же, сочетание логических символов и функторов теории множеств само по себе не криминал.
Так значит, надо рассмотреть и этот вариант, почему же неверно?

Вот я просто как раз не могу понять, нужно рассмотреть эту задачу с точки зрения теории множества(то, что я постарался и сделать) или может с точки зрения логических операций, проверяя ложно утверждение или нет?

Потому что я не очень могу понять как работать с подмножествами.

-- 02.08.2019, 12:28 --

Connector в сообщении #1408312 писал(а):

Просто я бы на Вашем месте написал: $x$ $\in$ $A$ $\wedge$ $x$ $\in$ $B$ $\Rightarrow$ $x$ $\in$ $A$ $\cap$ $B$.

А разве это и не приводит к противоречию?
Ведь $x$ $\in$ $A$ $\cap$ $B$ $\ne x \in A \cup B$

[iifat]

А в чём, собственно, проблем? Есть множества. Есть отношения на множествах. Есть высказывания касательно множеств. Есть математическая логика, задающая правила комбинирования высказываний. Просто надо различать, где что, а не механически переписывать.
Например: $\Leftrightarrow$ — операция матлогики, и её надо расписывать по законам матлогики; а вот $A\subset \B$ — отношение на множествах, преобразуемое в матлогику в виде $\forall x x\inA\Rightarrow x\in B$.

Connector в сообщении #1408312 писал(а):

Просто я бы на Вашем месте написал: $x$ $\in$ $A$ $\wedge$ $x$ $\in$ $B$ $\Rightarrow$ $x$ $\in$ $A$ $\cap$ $B$

Вот как раз таки вы написали неправильно. Не надо так писать.

[eugensk]

Babken в сообщении #1408306 писал(а):

При доказательстве в одну сторону я следую таким рассуждениям:

$x \in (A \subset C) \wedge (B \subset C) \Rightarrow x \in (A \subset C)$ и $x \in (B \subset C) \Rightarrow x \in (A \cap B) \subset C$

Babken в сообщении #1408313 писал(а):

А разве это и не приводит к противоречию?
Ведь $x$ $\in$ $A$ $\cap$ $B$ $\ne x \in A \cup B$

У вас, может быть, неподходящая книга, которая пропустила необходимые пояснения, иначе вы бы такого не написали. (Утверждения не то что ложны, у них нет смысла.) Попробуйте пройти первые две главы Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел (если не сможете найти, обращайтесь), и не торопитесь.

-- 02 авг 2019, 13:50 --

А, у вас Зорич. У него всё хорошо, читайте внимательно.

[Babken]

iifat в сообщении #1408316 писал(а):

А в чём, собственно, проблем? Есть множества. Есть отношения на множествах. Есть высказывания касательно множеств. Есть математическая логика, задающая правила комбинирования высказываний. Просто надо различать, где что, а не механически переписывать.
Например: $\Leftrightarrow$ — операция матлогики, и её надо расписывать по законам матлогики; а вот $A\subset \B$ — отношение на множествах, преобразуемое в матлогику в виде $\forall x x\inA\Rightarrow x\in B$.

В таком случае распишу решение следующим образом:

$x \in ((A \subset C) \wedge (B \subset C)) \Longrightarrow$

$x \in (A \subset C) \wedge x \in (B \subset C) \Longrightarrow$

$(x \in A \Rightarrow x \in C) \wedge (x \in B \Rightarrow x \in C) \Longrightarrow $

$(x \in A \vee x \in B) \Rightarrow x \in C$

Такие рассуждения верны?

[eugensk]

$x \in (B \subset C)$ - вы упорствуете. Читайте книгу.

(когда поймете почему так писать нельзя, подумайте над происхождением х, ведь в условии его нет)

[alcoholist]

Babken в сообщении #1408320 писал(а):

В таком случае распишу решение следующим образом:

$$x \in ((A \subset C) \wedge (B \subset C)) \Longrightarrow$$

Поймите, что $(A \subset C) \wedge (B \subset C)$ -- это не множество, а утверждение о множествах.

[Babken]

eugensk в сообщении #1408321 писал(а):

$x \in (B \subset C)$ - вы упорствуете. Читайте книгу.

(когда поймете почему так писать нельзя, подумайте над происхождением х, ведь в условии его нет)

Цитата:

Поймите, что $(A \subset C) \wedge (B \subset C)$ -- это не множество, а утверждение о множествах

Собрав воедино все ваши замечания. Поняв, что это утверждение, а не множество, поэтому знак принадлежности здесь неуместен в том варианте, в котором я писал. Прочитав Зорича, я считаю, что окончательный вариант должен выглядеть так:

(A \subset C) \wedge (B \subset C) \Longrightarrow$

$(x \in A \Rightarrow x \in C) \wedge (x \in B \Rightarrow x \in C) \Longrightarrow $

$(x \in A \vee x \in B) \Rightarrow x \in C$ \Longrightarrow

$(A \cup B) \subset C$

Напишите, если что не так

[Connector]

iifat в сообщении #1408316 писал(а):

Вот как раз таки вы написали неправильно. Не надо так писать.

Поясните, почему? В чем именно неправильно? И как правильно? Ошибка в том, что я не связал переменную $x$? А так правильно:
$\forall$ $x$ $(((x\in A)\wedge (x\in B))\Rightarrow (x\in A \cap B))$ ?

[alcoholist]

тогда уж

$$\Bigl((x \in A \vee x \in B) \Rightarrow (x \in C)\Bigr) \Longrightarrow \Bigl((x \in A\cup B) \Rightarrow (x \in C)\Bigr) \Longrightarrow (A \cup B) \subset C$$

[iifat]

Connector в сообщении #1408327 писал(а):

В чем именно неправильно?

В том что вы разбили формулу на кучу отдельных символов. Смысл формулы не рассматриваю, говорил исключительно про синтаксис $\LaTeX$

[vpb]

Babken
Позвольте настоятельно рекомендовать Вам поменьше употреблять логическую символику и решать задачи о множествах на более-менее естественном языке. В символах включения, принадлежности, объединения, пересечения (т.е. собственно теоретико-множественных) дурного нет, а вот конъюнкция, дизъюнкция, импликация, кванторы --- ими злоупотреблять опасно (но вообще их употреблять можно, умеренно). А то может мышление превратиться в жонглтрование символами.

Connector в сообщении #1408327 писал(а):

Почему? В чем именно неправильно? И как правильно? Ошибка в том, ч

Нет, там всё как раз правильно. В том смысле, что это --- правильный пример того, как корректно сочетать множественные обозначения и логические, да и само утверждение правильное.

-- 02.08.2019, 13:21 --

iifat в сообщении #1408335 писал(а):

В том что вы разбили формулу на кучу отдельных символов.

А, в этом смысле... Действительно, в этом смысле дико.