2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача по множествам
Сообщение02.08.2019, 11:21 


01/08/19
9
Помогите понять, правильно ли я мыслю. Просто задание звучит: "Проверьте соотношения", из-за чего я не могу понять, это соотношение является верным или нет. Выглядит оно так:

$(A \subset C) \wedge (B \subset C) \Leftrightarrow ((A \cup B) \subset C);$

При доказательстве в одну сторону я следую таким рассуждениям:

$x \in (A \subset C) \wedge (B \subset C) \Rightarrow x \in (A \subset C)$ и $x \in (B \subset C) \Rightarrow x \in (A \cap B) \subset C$

То есть у меня получается так, что я исключаю тот вариант, что $x \in A$, но $x \notin B$ и наоборот, хотя вариант $x \in A \cup B$ включает его в себя. Таким образом я получаю, что данное соотношение не верно. Правильно ли я рассуждаю? Или в чем ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение02.08.2019, 11:57 


02/05/19
396
Во-первых,
$x$ $\in$ $(A $\subset$ $C$)$ $\wedge$ $(B$\subset$ $C$)$ это какое-то странное обозначение... И что-то не в порядке с набором формул, кажется, Вы набрали их картинками.

(Оффтоп)

(впрочем, у меня тоже не в порядке)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение02.08.2019, 12:00 


01/08/19
9
Connector в сообщении #1408308 писал(а):
Во-первых,
$x$ $\in$ $(A $\subset$ $C$)$ $\wedge$ $(B$\subset$ $C$)$ это какое-то странное обозначение... И что-то не в порядке с набором формул.


Согласен, мне тоже показалась запись странной, потому что намешаны обозначения из теории логики и множеств. Однако это задача из учебника Зорича(I) с.10 упражнение 1(а). Там это все выглядит именно так

-- 02.08.2019, 12:00 --

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение02.08.2019, 12:16 


02/05/19
396
Нет, почему же, сочетание логических символов и функторов теории множеств само по себе не криминал.
Просто я бы на Вашем месте написал: $x$ $\in$ $A$ $\wedge$ $x$ $\in$ $B$ $\Rightarrow$ $x$ $\in$ $A$ $\cap$ $B$.
У Зорича такого не нашёл, по крайней мере в изд. 2002 г., где упражнение на с. 12...
Babken в сообщении #1408306 писал(а):

То есть у меня получается так, что я исключаю тот вариант, что $x$ $\in$ $A$ но $x$ $\notin$ $B$ и наоборот, хотя вариант $x$ $\in$ $A$ $\cup$ $B$ включает его в себя. Таким образом я получаю, что данное соотношение не верно.

Так значит, надо рассмотреть и этот вариант, почему же неверно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение02.08.2019, 12:24 


01/08/19
9
Connector в сообщении #1408312 писал(а):
Нет, почему же, сочетание логических символов и функторов теории множеств само по себе не криминал.
Так значит, надо рассмотреть и этот вариант, почему же неверно?


Вот я просто как раз не могу понять, нужно рассмотреть эту задачу с точки зрения теории множества(то, что я постарался и сделать) или может с точки зрения логических операций, проверяя ложно утверждение или нет?

Потому что я не очень могу понять как работать с подмножествами.

-- 02.08.2019, 12:28 --

Connector в сообщении #1408312 писал(а):
Просто я бы на Вашем месте написал: $x$ $\in$ $A$ $\wedge$ $x$ $\in$ $B$ $\Rightarrow$ $x$ $\in$ $A$ $\cap$ $B$.


А разве это и не приводит к противоречию?
Ведь $x$ $\in$ $A$ $\cap$ $B$ $\ne x \in A \cup B$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение02.08.2019, 12:39 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
А в чём, собственно, проблем? Есть множества. Есть отношения на множествах. Есть высказывания касательно множеств. Есть математическая логика, задающая правила комбинирования высказываний. Просто надо различать, где что, а не механически переписывать.
Например: $\Leftrightarrow$ — операция матлогики, и её надо расписывать по законам матлогики; а вот $A\subset \B$ — отношение на множествах, преобразуемое в матлогику в виде $\forall x x\inA\Rightarrow x\in B$.
Connector в сообщении #1408312 писал(а):
Просто я бы на Вашем месте написал: $x$ $\in$ $A$ $\wedge$ $x$ $\in$ $B$ $\Rightarrow$ $x$ $\in$ $A$ $\cap$ $B$
Вот как раз таки вы написали неправильно. Не надо так писать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение02.08.2019, 12:46 
Аватара пользователя


14/12/17
1471
деревня Инет-Кельмында
Babken в сообщении #1408306 писал(а):
При доказательстве в одну сторону я следую таким рассуждениям:

$x \in (A \subset C) \wedge (B \subset C) \Rightarrow x \in (A \subset C)$ и $x \in (B \subset C) \Rightarrow x \in (A \cap B) \subset C$

Babken в сообщении #1408313 писал(а):
А разве это и не приводит к противоречию?
Ведь $x$ $\in$ $A$ $\cap$ $B$ $\ne x \in A \cup B$


У вас, может быть, неподходящая книга, которая пропустила необходимые пояснения, иначе вы бы такого не написали. (Утверждения не то что ложны, у них нет смысла.) Попробуйте пройти первые две главы Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел (если не сможете найти, обращайтесь), и не торопитесь.

-- 02 авг 2019, 13:50 --

А, у вас Зорич. У него всё хорошо, читайте внимательно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение02.08.2019, 12:56 


01/08/19
9
iifat в сообщении #1408316 писал(а):
А в чём, собственно, проблем? Есть множества. Есть отношения на множествах. Есть высказывания касательно множеств. Есть математическая логика, задающая правила комбинирования высказываний. Просто надо различать, где что, а не механически переписывать.
Например: $\Leftrightarrow$ — операция матлогики, и её надо расписывать по законам матлогики; а вот $A\subset \B$ — отношение на множествах, преобразуемое в матлогику в виде $\forall x x\inA\Rightarrow x\in B$.


В таком случае распишу решение следующим образом:

$x \in ((A \subset C) \wedge (B \subset C)) \Longrightarrow$

$x \in (A \subset C) \wedge x \in (B \subset C) \Longrightarrow$

$(x \in A \Rightarrow x \in C)  \wedge  (x \in B \Rightarrow x \in C) \Longrightarrow $

$(x \in A \vee x \in B) \Rightarrow x \in C$

Такие рассуждения верны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение02.08.2019, 12:59 
Аватара пользователя


14/12/17
1471
деревня Инет-Кельмында
$x \in (B \subset C)$ - вы упорствуете. Читайте книгу.

(когда поймете почему так писать нельзя, подумайте над происхождением х, ведь в условии его нет)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение02.08.2019, 13:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Babken в сообщении #1408320 писал(а):
В таком случае распишу решение следующим образом:
$$x \in ((A \subset C) \wedge (B \subset C)) \Longrightarrow$$
Поймите, что $(A \subset C) \wedge (B \subset C)$ -- это не множество, а утверждение о множествах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение02.08.2019, 13:14 


01/08/19
9
eugensk в сообщении #1408321 писал(а):
$x \in (B \subset C)$ - вы упорствуете. Читайте книгу.

(когда поймете почему так писать нельзя, подумайте над происхождением х, ведь в условии его нет)


Цитата:
Поймите, что $(A \subset C) \wedge (B \subset C)$ -- это не множество, а утверждение о множествах


Собрав воедино все ваши замечания. Поняв, что это утверждение, а не множество, поэтому знак принадлежности здесь неуместен в том варианте, в котором я писал. Прочитав Зорича, я считаю, что окончательный вариант должен выглядеть так:

(A \subset C) \wedge (B \subset C) \Longrightarrow$

$(x \in A \Rightarrow x \in C)  \wedge  (x \in B \Rightarrow x \in C) \Longrightarrow $

$(x \in A \vee x \in B) \Rightarrow x \in C$ \Longrightarrow

$(A \cup B) \subset C$

Напишите, если что не так

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение02.08.2019, 13:14 


02/05/19
396
iifat в сообщении #1408316 писал(а):
Вот как раз таки вы написали неправильно. Не надо так писать.

Поясните, почему? В чем именно неправильно? И как правильно? Ошибка в том, что я не связал переменную $x$? А так правильно:
$\forall$ $x$ $(((x\in A)\wedge (x\in B))\Rightarrow (x\in A \cap B))$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение02.08.2019, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
тогда уж $$\Bigl((x \in A \vee x \in B) \Rightarrow (x \in C)\Bigr) \Longrightarrow
\Bigl((x \in A\cup B) \Rightarrow (x \in C)\Bigr) \Longrightarrow
(A \cup B) \subset C$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение02.08.2019, 14:14 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Connector в сообщении #1408327 писал(а):
В чем именно неправильно?
В том что вы разбили формулу на кучу отдельных символов. Смысл формулы не рассматриваю, говорил исключительно про синтаксис $\LaTeX$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по множествам
Сообщение02.08.2019, 14:17 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
Babken
Позвольте настоятельно рекомендовать Вам поменьше употреблять логическую символику и решать задачи о множествах на более-менее естественном языке. В символах включения, принадлежности, объединения, пересечения (т.е. собственно теоретико-множественных) дурного нет, а вот конъюнкция, дизъюнкция, импликация, кванторы --- ими злоупотреблять опасно (но вообще их употреблять можно, умеренно). А то может мышление превратиться в жонглтрование символами.
Connector в сообщении #1408327 писал(а):
Почему? В чем именно неправильно? И как правильно? Ошибка в том, ч

Нет, там всё как раз правильно. В том смысле, что это --- правильный пример того, как корректно сочетать множественные обозначения и логические, да и само утверждение правильное.

-- 02.08.2019, 13:21 --

iifat в сообщении #1408335 писал(а):
В том что вы разбили формулу на кучу отдельных символов.

А, в этом смысле... Действительно, в этом смысле дико.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group