Я спросил у Maplы про предел

[Алексей К.]

Я искал (численно) предел:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\left[ \sqrt{4n-1}-\sum\limits_{k=1}^{n-1}\arctg\frac1{\sqrt{k}} \right]. $$

Сыскал что-то вроде $2.15778$ при $n=100000000000000000000$. А потом подумал --- спрошу его у Maplы; хотя, казалось, рассчитывать особо не на что.

А она ответила, сверкая
(словно колокольчик прозвенел) ---

$$\frac{11287}{11520} + \frac38\pi + O(1),$$

что есть ${}\approx 2.15787$.

Не могли бы вы пояснить --- как она пришла к такому выводу?

[nnosipov]

Алексей К. в сообщении #1407976 писал(а):

Не могли бы вы пояснить --- как она пришла к такому выводу?

Особенно интригует $O(1)$. А что на самом деле получается? Формула Эйлера-Маклорена не помогает?

[Markiyan Hirnyk]

Обе команды Мэйпла 2019.1

limit(sqrt(4*n - 1) - sum(arctan(1/sqrt(k)), k = 1 .. n - 1), n = infinity);
MultiSeries:-limit(sqrt(4*n - 1) - sum(arctan(1/sqrt(k)), k = 1 .. n - 1), n = infinity);

возвращают ввод, т.е. Мэйпл не может найти это предел. Выполненный код как mw файл через Дропбокс по требованию. Не могли бы Вы подкрепить Ваше легковесное заявление кодом и указанием версии Мэйпла, как поступают солидные люди?
PS. Команда Математики 12.0

Limit[Sqrt[4 n - 1] - Sum[ArcTan[1/Sqrt[k]], {k, 1, n - 1}], n -> Infinity]

также пасует.

[Алексей К.]

$\ldots + O(1)$ --- это цитата. Таковую формулу не знал. Посвящу утро её изучению.
Спасибо.

[nnosipov]

Markiyan Hirnyk
У меня Maple 15 выдал ровно то, что указал ТС. Команда

limit(sqrt(4*n-1)-sum(arctan(1/sqrt(k)),k=1..n),n=infinity);

[Markiyan Hirnyk]

nnosipov Спасибо. Следовательно, надо пользоваться новыми версиями Мэйпла, а не десятилетней давности. Персональная лицензионная версия Мэйпла 2019 стоит порядка $300.

[nnosipov]

Markiyan Hirnyk
Дык, новая-то вообще ничего не выдает, сами же написали. А от старой хоть какой-то прок :)

[Markiyan Hirnyk]

nnosipov Вы неправы: признание математической программой своего бессилия решить поставленную задачу предпочтительнее, чем неверный результат. Пожалуйста, внимательно читайте ответы участников.

[Dmitriy40]

А вольфрам говорит бесконечность ...
На правильности абсолютно не настаиваю, скорее ещё одна странность.

[nnosipov]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1407992 писал(а):

Пожалуйста, внимательно читайте ответы участников.

Я всегда внимательно читаю ответы участников. Например, вот эта фраза

Markiyan Hirnyk в сообщении #1407985 писал(а):

Персональная лицензионная версия Мэйпла 2019 стоит порядка $300.

мне показалась рекламной.

[Markiyan Hirnyk]

Dmitriy40 Моя Wolfram|AlphaPro, вмонтированная в Математику, не отвечает на вопрос в Вашей формулировке. Снимок экрана через Дропбокс по требованию.
nnosipov В 2012 году купил такую версию Мэйпла в SoftLine. Факт, а не реклама. Еще раз разъясняю Вам, что возвращение неисполненной команды Мэйплом без указания ошибки означает, что Мэйпл не может ее выполнить, т. е. решить поставленную перед ним задачу. Если у Вас еще есть недоуменные вопросы, пожалуйста, задавайте их.

[Otta]

Там очень грубая оценка дает бесконечность.
И не ругайтесь, пожалуйста, модератора позову.

[Markiyan Hirnyk]

Otta Пожалуйста, обоснуйте

Цитата:

Там очень грубая оценка дает бесконечность.

Спасибо.

[Otta]

$$\sum_1^{n-1}\arctg\frac{1}{\sqrt n}\le \sum_1^{n-1}\frac{1}{\sqrt n}\sim 2\sqrt n, n\to\infty$$

-- 31.07.2019, 01:38 --

О. Я не заметила, что там четверка под корнем. Тогда грубая - не дает.

[Markiyan Hirnyk]

Otta$\lim _{n\rightarrow \infty }(\sqrt {4\,n-1}-2\,\sqrt {n})=0.$