Флуктуация спина в его чистом состоянии.

[Goroshek]

Решаю задачу с листка и получил затык, не знаю ответа и не могу понять, где найти примеры решения такого. Может, тут кто-нибудь поможет. Суть задачи: задан спин в чистом состоянии, описываемым ВФ:
$ |\chi \mathcal{i} = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\uparrow \mathcal{i} + |\downarrow \mathcal{i} ) $
По чистому состоянию предлагается найти, используя матрицу плотности:
$ \langle \hat{S} \rangle $ и $ \langle (\hat{S} - \langle \hat{S} \rangle)^2 \rangle $
Здесь $\hat{S}$ - это оператор спина. С первым пунктом я справился, можно двумя способами, с матрицей плотности или без неё, подсчитав три средних значения для трёх матриц Паули в заданном состоянии, получить вектор $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. Однако при переходе ко второму пункту возникает грандиозный затуп. В выражении для флуктуации спина стоит разность: из спина $\hat{S}$ вычитается его среднее значение - найденный вектор. Но сам оператор спина я себе представляю вектором из его операторов - матриц Паули. В итоге я не могу понять, что написано в этой разности: по моему заблуждению там написана разность вектора матриц и вектора чисел и я не могу найти подвоха и выхода из ситуации. Буду очень рад, если кто-нибудь поможет разобраться!

[madschumacher]

Goroshek в сообщении #1407566 писал(а):

получить вектор $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

В случае спина $1/2$, оператор спина связан с матрицами Паули как $\hat{\mathbf{S}} = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_z \end{pmatrix}$. Вы уверены, что не забыли коэффициент, поскольку у Вас длина матожидания спина равна 1?

Goroshek в сообщении #1407566 писал(а):

В выражении для флуктуации спина стоит разность: из спина $\hat{S}$ вычитается его среднее значение - найденный вектор.

А почему бы Вам не записать выражение для дисперсии как $\langle \mathbf{S}^2 \rangle - \langle \mathbf{S} \rangle^2$? Тут, вроде, должно быть очевидно как и что там с размерностями.

[Goroshek]

Да, действительно, из среднего от оператора квадрата вычесть квадрат среднего от оператора у меня получилось. И да, я потерял там одну вторую при матрицах :) очень странная как по мне ситуация: промежуточная выкладка по смыслу неясна, но ответ получается. Спасибо за помощь!

[madschumacher]

Goroshek в сообщении #1407578 писал(а):

промежуточная выкладка по смыслу неясна, но ответ получается

Ну это же эквивалентное представление дисперсии:
$D(X) = \langle \underbrace{(X - \langle X\rangle)^2}_{X^2 - 2 \langle X \rangle \cdot X + \langle X\rangle^2} \rangle = \langle X^2 \rangle - 2 \underbrace{\langle X \rangle \cdot \langle X \rangle}_{\langle X \rangle^2} + \langle X \rangle^2 = \langle X^2 \rangle - \langle X \rangle^2$

[Munin]

madschumacher в сообщении #1407575 писал(а):

В случае спина $1/2$, оператор спина связан с матрицами Паули как $\hat{\mathbf{S}} = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_z \end{pmatrix}$.

Вы здесь пишете пространственный вектор как вектор-столбец. В линале это простительно (и распространено), но в КМ может привести к путанице с другими матрицами-столбцами. Везде в книгах пишут по-другому (используя то, что читатель хорошо знаком с обычными пространственными векторами): $\hat{\mathbf{S}}=\tfrac{\hbar}{2}(\sigma_x\mathbf{i}+\sigma_y\mathbf{j}+\sigma_z\mathbf{k}).$ Мне кажется, это и удобней, и даёт меньше ошибок, и даёт больше взаимопонимания с литературой.